Зонная теория твердого тела

Лекция 4-5

4. Зонная теория твердого тела

4.1. Уравнение Шредингера для твердого тела

Любое твердое тело состоит из атомов, т.е. представляет собой совокупность ядер и электронов. В кристаллических твердых телах ядра атомов располагаются в узлах кристаллической решетки, обладающей пространственной периодичностью.

Стационарные состояния всех частиц описываются уравнением Шредингера:

, (4.1)

где - гамильтониан всей совокупности частиц, -собственная волновая функция; Е - энергия твердого тела.

Обозначим ₁, ₂ …- радиус-векторы электронов, а ₁, ₂ …- радиус-векторы ядер. Пусть М_к - масса ядра атома вида к , m - масса электрона.

Гамильтониан системы частиц , где - оператор кинетической энергии, U – потенциальная энергия системы,

.

 

Здесь - оператор Лапласа для i –той частицы. Первое слагаемое представляет собой оператор кинетической энергии электронов, второе – ядер.

Потенциальная энергия совокупности частиц, составляющих твердое тело - это энергия попарного взаимодействия электронов с электронами, ядер с ядрами и электронов с ядрами:

.

Волновая функция зависит от координат всех частиц:

.

Если на эту волновую функцию наложить ограничения, вытекающие из ее физического смысла (конечность, однозначность, непрерывность), то уравнение Шредингера будет иметь решение не при любых значениях энергии Е, а лишь при некоторых. Эти значения Е являются решением уравнения (4.1) и определяют энергетический спектр твердого тела.

Из-за огромного числа независимых переменных уравнение (4.1) не имеет точного решения. Для описания приближенного решения прибегают к ряду упрощений:

- Ядра в кристаллах совершают колебания относительно своих положений равновесия. Электроны же участвуют в поступательно – вращательном движении, при этом их скорость много больше скорости ядер. Приближение, учитывающее различный характер движения ядер и электронов, называется адиабатическим приближением (или приближением Борна- Оппенгеймера).

Самое грубое допущение состоит в том, что ядра покоятся. Тогда уравнение (4.1) принимает вид:

. (4.2)

Оно описывает движение электронов в поле неподвижных ядер.

- Валентная аппроксимация. Считают, что все электроны внутренних оболочек атома образуют вместе с ядром покоящегося атома атомный остаток, то есть ион, и уравнение (4.2) записывают лишь для валентных электронов, которые движутся в некотором результирующем поле неподвижных ионов.

Одноэлектронное приближение

, (4.3) то есть гамильтониан системы представляет теперь сумму гамильтонианов… Решением (4.3) является функция

ЗАПОЛНЕНИЕ ЗОН ЭЛЕКТРОНАМИ. МЕТАЛЛЫ, ДИЭЛЕКТРИКИ, ПОЛУПРОВОДНИКИ

Рассмотрим различные варианты заполнения зон электронами. 1. Предположим, что последняя зона, в которой есть электроны, заполнена… Рассмотрим в качестве примера натрий. Каждый атом натрия содержит 11 электронов, распределенных по состояниям…

ЭФФЕКТИВНАЯ МАССА ЭЛЕКТРОНА

Здесь m – масса электрона. Вектор ускорения направлен против поля . Теперь получим уравнение движения электрона, находящегося в периодическом поле кристалла. Внешнее поле действует на…