Дополнение нулями

С помощью процесса, называемого дополнением нулями, дискретно-временной ряд Фурье может быть изменен для интерполяции между N значениями исходного преобразования. Пусть имеющиеся отсчеты данных x[0],...,x[N-1] дополнены нулевыми значениями x[N],...X[2N-1]. ДВРФ этой дополненной нулями 2N-точечной последовательности данных будет определяться выражением

(32)

где верхний предел суммы справа изменен в соответствии с наличием нулевых данных. Пусть k=2m, так что

, (33)

где m=0,1,...,N-1, определяет четные значения X[k]. Отсюда видно, что при четных значениях индекса k 2N-точечный дискретно-временной ряд Фурье сводится к N-точечному дискретно-временному ряду. Нечетные значения индекса k соответствуют интерполированным значениям ДВРФ, расположенным между значениями исходного N-точечного ДВРФ. По мере того, как все большее число нулей добавляется в исходную N-то-чечную последовательность, можно получить еще большее число интерполированных данных. В предельном случае бесконечного числа вводимых нулей ДВРФ может рассматриваться как дискретно-временное преобразование Фурье N-то-чечной последовательности данных:

. (34)

Преобразование (34) соответствует узлу 6 на рис.2.
Бытует неправильное мнение о том, что дополнение нулями улучшает разрешение, поскольку оно увеличивает длину последовательности данных. Однако, как следует из рис.3, дополнение нулями не улучшает разрешающую способность преобразования, полученного по заданной конечной последовательности данных. Дополнение нулями просто позволяет получить интерполированное преобразование более сглаженной формы. Кроме того, оно устраняет неопределенности, обусловленные наличием узкополосных компонент сигнала, частоты которых лежат между N точками, соответствующими оцениваемым частотам исходного ДВРФ. При дополнении нулями повышается также и точность оценивания частоты спектральных пиков. Под термином спектральное разрешение мы будем понимать способность различать спектральные отклики двух гармонических сигналов. Общепринятое эмпирическое правило, часто используемое при спектральном анализе, гласит, что разнесение различаемых синусоид по частоте не может быть меньше эквивалентной ширины полосы окна, через которое наблюдаются сегменты (отрезки) этих синусоид.

Рис.3. Интерполяция за счет дополнения нулями:
а - модуль ДВРФ 16-ти точечной записи данных, содержащих три синусоиды без дополнения нулями (видны неопределенности: нельзя сказать сколько в сигнале синусоид - две, три или четыре);
б - модуль ДВРФ той же последовательности после двукратного увеличения числа ее отсчетов за счет дополнения 16 нулями (неопределенности разрешены, так как различимы все три синусоиды;
в - модуль ДВРФ той же последовательности после четырехкратного увеличения числа ее отсчетов за счет дополнения нулями.

Эквивалентная ширина полосы окна может быть определена как
где W(f) - дискретно-временное преобразование Фурье функции окна, например, прямоугольного (5). Аналогично можно ввести эквивалентную длительность окна

Можно показать, что эквивалентная длительность окна (или любого другого сигнала) и эквивалентная ширина полосы его преобразования являются взаимно обратными величинами: TeBe=1.