ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ И КЛАССИЧЕСКИЙ ЦИФРОВОЙ СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ И КЛАССИЧЕСКИЙ ЦИФРОВОЙ СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ.Медведев С.Ю., к.ф.-м..н.

Введение

Спектральный анализ - один из методов обработки сигналов, который позволяет охарактеризовать частотный состав измеряемого сигнала. Преобразование Фурье является математической основой, которая связывает временной или пространственный сигнал (или же некоторую модель этого сигнала) с его представлением в частотной области. Важную роль в спектральном анализе играют методы статистики, поскольку сигналы, как правило, имеют случайный характер или зашумлены при распространении или измерении. Если бы основные статистические характеристики сигнала были точно известны, или их можно было определить по конечному интервалу этого сигнала, то спектральный анализ представлял бы собой отрасль "точной науки". Однако, в действительности по отрезку сигнала можно получить только оценку его спектра. Поэтому практика спектрального анализа - некое ремесло (или искусство?) достаточно субъективного характера. Различие между спектральными оценками, получаемыми в результате обработки одного и того же отрезка сигнала разными методами, можно объяснить различием допущений, принятых относительно данных, различными способами усреднения и т .п. Если априори характеристики сигнала не известны, нельзя сказать какие из оценок лучше.

Преобразование Фурье - математическая основа спектрального анализа
Кратко обсудим разные виды преобразования Фурье (более подробно см. в [1]).
Начнем с преобразования Фурье непрерывного во времени сигнала

, (1)

которое идентифицирует частоты и амплитуды тех комплексных синусоид (экспонент), на которые разлагается некоторое произвольное колебание.
Обратное преобразование

. (2)

Существование прямого и обратного преобразования Фурье (которое в дальнейшем мы будем называть непрерывно-временным преобразованием Фурье - НВПФ) определяется рядом условий. Достаточное - абсолютная интегрируемость сигнала

. (3)

Менее ограничительное достаточное условие - конечность энергии сигнала

. (4)

Приведем ряд основных свойств преобразования Фурье и функций, используемых далее, заметив, что прямоугольное окно определяется выражением

(5)

а функция sinc - выражением

(6)

Функция отсчетов во временной области определяется выражением

(7)

Эту функцию иногда называют также функцией периодического продолжения.

Таблица 1. Основные свойства НВПФ и функции

Свойство, функция	Функция	Преобразование
Линейность	ag( t ) + bh( t )	aG( f ) + bH( f )
Сдвиг по времени	h ( t - t0 )	H( f )exp( -j2pf t0 )
Сдвиг по частоте (модуляция)	h ( t )exp( j2pf0 t )	H( f - f0 )
Масштабирование	( 1 / |a| )h( t / a )	H( af )
Теорема свертки во временной области	g( t )*h( t )	G( f )H( f )
Теорема свертки в частотной области	g( t ) h( t )	G( f )*H( f )
Функция окна	Aw( t / T )	2ATsinc( 2Tf )
Функция sinc	2AFsinc( 2Ft )	Aw( f / F )
Импульсная функция	Ad( t )	A
Функция отсчетов	T(f)	FF(f), F=1/T

Еще одно важное свойство устанавливается теоремой Парсеваля для двух функций g(t) и h(t):

. (8)

Если положить g(t) = h(t), то теорема Парсеваля сводится к теореме для энергии

. (9)

Выражение (9) - это, в сущности, просто формулировка закона сохранения энергии в двух областях (временной и частотной). В (9) слева стоит полная энергия сигнала, таким образом, функция

(10)

описывает распределение энергии по частоте для детерминированного сигнала h(t) и поэтому называется спектральной плотностью энергии (СПЭ). С помощью выражений

(11)

можно вычислить амплитудный и фазовый спектры сигнала h( t ).

Операции дискретизации и взвешивания

В следующем разделе мы введем дискретно-временной ряд Фурье (ДВРФ) или иначе дискретное преобразование Фурье (ДПФ) как частный случай непрерывно-временного преобразования Фурье (НВПФ) с использованием двух базовых операций обработки сигналов - взятия отсчетов (дискретизации) и взвешивания с помощью окна. Здесь рассмотрим влияние этих операций на сигнал и его преобразование. В таблице 2 перечислены функции, с помощью которых осуществляется взвешивание и дискретизация .

При равномерных отсчетах с интервалом T секунд частота отсчетов F равна 1 /T Гц. Заметим, что взвешивающая функция и функция отсчетов во временной области обозначаются соответственно TW (time windowing) и TS (time sampling), а в частотной области - FW (frequency windowing) и FS (frequency sampling).

Таблица 2. Взвешивание и дискретизирующие функции

Операция	Функция времени	Преобразование
Взвешивание во временной области (ширина окна NT сек)	TW=w(2t / NT - 1)	F{TW}=NTsinc(NTf)•exp(-jpNTf)
Взвешивание в частотной области (ширина окна 1/T Гц)		FW=w( 2Tf )
Отсчеты во времени (интервалом T сек)	TS=TT(t)
Отсчеты по частоте (с интервалом 1/NT Гц)

Предположим, что берутся отсчеты непрерывного действительного сигнала x(t) c ограниченным спектром, верхняя частота которого равна F0. НВПФ действительного сигнала - это всегда симметричная функция с полной шириной 2F0, см. рис.1.
Отсчеты сигнала x(t) могут быть получены посредством умножения этого сигнала на функцию отсчетов:

(12)

Рис.1 - иллюстрация теоремы отсчетов во временной области для действительного сигнала с ограниченным спектром:
а - исходная функция времени и ее преобразование Фурье;
б - функция отсчетов во времени и ее преобразование Фурье;
в - временные отсчеты исходной функции и ее периодически продолженное преобразование Фурье для случая Fo<1/2T;
г - частотное окно (идеальный фильтр нижних частот) и его преобразование Фурье (функция sinc);
д - исходная функция времени, восстановленная посредством операции свертки с функцией sinc.

В соответствии с теоремой о свертке в частотной области, НВПФ сигнала x(t) - это просто свертка спектра сигнала x(t) и преобразования Фурье функции отсчетов по времени ( TS ):

. (13)

Свертка X(f) c преобразованием Фурье функции отсчетов F {TS}=Y1/T( f ) просто периодически продолжает X(f) с частотным интервалом 1/T Гц. Поэтому XS(f) представляет собой периодически продолженный спектр X(f). В общем случае отсчеты в одной области (например, временной) приводят к периодическому продолжению в области преобразования (например, частотной). Если частота отсчетов выбрана достаточно низкой (F < 2Fo ), то периодически продолженные спектры будут перекрываться с соседними. Это перекрытие носит название эффекта наложения в частотной области.
Для того, чтобы восстановить исходный временной сигнал по его отсчетам, т.е. осуществить интерполяцию некоторого континуума значений между этими отсчетами, можно пропустить дискретизованные данные через идеальный фильтр нижних частот с прямоугольной частотной характеристикой ( рис. 1 г)

. (14)

В результате (см. Рис. 1 д ) восстанавливается исходное преобразование Фурье. Используя теоремы о свертке во временной и частотной областях, получаем

. (15)

Выражение (15) представляет собой математическую запись теоремы отсчетов во временной области ( теоремы Уиттекера, Котельникова, Шеннона - УКШ ), которая утверждает, что с помощью интерполяционной формулы (15) действительный сигнал с ограниченным спектром может быть точно восстановлен по бесконечному числу известных временных отсчетов, взятых с частотой F і 2F0. Дуальной к теореме (15) является теорема отсчетов в частотной области для сигналов с ограниченной длительностью.
Операции во временной области, аналогичные (14), описываются выражением

, (16)

а соответствующие преобразования - выражениями

Таким образом, НВПФ X(f) некоторого сигнала с ограниченной длительностью может быть однозначно восстановлено по эквидистантным отсчетам спектра такого сигнала, если выбранный интервал отсчетов по частоте удовлетворяет условию F1/2T₀ Гц, где T₀ - длительность сигнала.

Соотношения между непрерывными и дискретными преобразованиями

, (18) . (19) Чтобы по отсчетам данных получить спектральные оценки в соответствующих…

Дополнение нулями

(32) где верхний предел суммы справа изменен в соответствии с наличием нулевых… , (33)

Быстрое преобразование Фурье

, (35) где величина WN=exp(-j2/N) носит название поворачивающего множителя (здесь и… . (36)

Случайные процессы и спектральная плотность мощности

Случайный процесс называется стационарным в широком смысле, если его среднее значение постоянно (не зависит от времени), а автокорреляция зависит… rxx[m] = < x[n+m]x*[n] >. (44) Отметим следующие свойства АКП:

Периодограммный метод спектрального оценивания

Рис. 5. Основные этапы оценивания СПМ с помощью периодограммного метода Применение метода начинается со сбора N отсчетов данных, которые берутся с…

Окна

Один из важных вопросов, который является общим для всех классических методов спектрального оценивания, связан с взвешиванием данных. Обработка с помощью окна используется для управления эффектами, обусловленными наличием боковых лепестков в спектральных оценках. Заметим, что имеющуюся конечную запись данных удобно рассматривать как некоторую часть соответствующей бесконечной последовательности, видимую через применяемое окно. Так последовательность наблюдаемых данных x₀[n] из N отсчетов математически можно записать как произведение бесконечной последовательности x[n] и функции прямоугольного окна

x₀[n]=x[n]·rect[n].
При этом принимается очевидное допущение о том, что все ненаблюдаемые отсчеты равны нулю независимо от того, так ли это на самом деле. Дискретно-временное преобразование Фурье взвешенной последовательности равно свертке преобразований последовательности x[n] и прямоугольного окна rect[n]

X₀(f)=X(f)*D_N(f) , где
D_N(f)= Texp(-j2pfT[N-1])sin(pfTN)/sin(pfT).

Функция D_N(f), называемая дискретной функцией sinc, или ядром Дирихле, представляет собой ДВПФ прямоугольной функции. Преобразование наблюдаемой конечной последовательности является искаженной версией преобразования бесконечной последовательности. Влияние прямоугольного окна на дискретно-временную синусоиду с частотой f₀ иллюстрирует рис.7.

Рис.7. Иллюстрация смещения дискретно-временного преобразования Фурье вследствие просачивания из-за взвешивания данных.: а,в - исходная и взвешенная последовательности; б, г - их преобразования Фурье.

Из рисунка видно, что острые спектральные пики ДВПФ бесконечной синусоидальной последовательности расширились за счет свертки с преобразованием окна. Таким образом, минимальная ширина спектральных пиков взвешенной окном последовательности определяется шириной главного лепестка преобразования этого окна и не зависит от данных. Боковые лепестки преобразования окна будут изменять амплитуды соседних спектральных пиков (иногда это явление называют просачиванием). Поскольку ДВПФ - периодическая функция, то наложение боковых лепестков от соседних периодов может привести к дополнительному смещению. Увеличение частоты отсчетов позволяет ослабить эффект наложения боковых лепестков. Аналогичные искажения будут, естественно, наблюдаться и в случае несинусоидальных сигналов. Просачивание приводит не только к появлению амплитудных ошибок в спектрах дискретных сигналов, но может также маскировать присутствие слабых сигналов. Можно предложить ряд других функций окна, применение которых позволяет снизить уровень боковых лепестков по сравнению с тем, который имеется при использовании прямоугольного окна. Снижение уровня боковых лепестков будет уменьшать смещение спектральной оценки, однако это дается ценой расширения главного лепестка спектра окна, что, естественно, приводит к ухудшению разрешения. Следовательно и здесь должен выбираться какой-то компромисс между шириной главного лепестка и уровнем боковых лепестков. Для оценки качества окон используется несколько параметров. Традиционным показателем является ширина полосы главного лепестка на уровне половинной мощности. В качестве второго показателя используется эквивалентная ширина полосы, введенная выше. Два показателя используются и для оценки характеристик боковых лепестков. Первый - их максимальный уровень, второй - скорость спадания, характеризующая быстроту уменьшения боковых лепестков по мере удаления от главного лепестка. В таблице 3 приведены определения некоторых общеупотребительных дискретно-временных функций окна, а в таблице 4 - их характеристики.
Таблица 3. Определения типичных N-точечных дискретно-временных окон

Название окна	Дискретно-временная функция w[n]	Частотная характеристика W(f)
Прямоугольное (равномерное)		DN (f)
Треугольное(окно Бартлетта)	1-2 | t [n] |	(2/N)D2N(f/2)
Косинус-квадрат (окно Ханна)	cos2(t[n])=0.5+0.5cos(2t[n])
Приподнятый косинус (окно Хэмминга)	0.54+0.46cos(2pt[n])
Взвешенные косинусы (окно Наттолла)

Таблица 4. Некоторые характеристики типичных N-точечных дискретно-временных окон

Название окна	Макс. уровень боковых лепестков, дБ	Скорость спадания боков.лепестков, дБ/октава	Эквивалентная ширина полосы
Прямоугольное	-13.3	-6	1.00
Треугольное	-26.5	-12	1.33
Окно Ханна	-31.5	-18	1.50
Окно Хэмминга	-43.0	-6	1.36
Окно Наттолла (R=3)	-98.0	-6	1.80

Ранее мы дали определение спектральной плотности мощности как дискретно-временное преобразование Фурье автокорреляционной последовательности

. (46)

Коррелограммный метод оценивания СПМ - это просто подстановка в выражение (46) конечной последовательности значений оценки автокорреляции (коррелограммы) вместо бесконечной последовательности неизвестных истинных значений автокорреляции. Подробнее о коррелограммном методе спектрального оценивания можно прочитать в [1].

Л и т е р а т у р а

2. Марпл-мл. С.Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения: Пер. с англ. -М.: Мир, 1990. 3. Гольдберг Л.М., Матюшкин Б.Д., Поляк М.Н., Цифровая обработка сигналов.-… 4. Отнес Р., Эноксон Л. Прикладной анализ временных рядов.- М.: Мир, 1982.