СВЯЗЬ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ С СИММЕТРИЯМИ

 

Пусть

 

Рассмотрим эрмитов оператор ( ) такой, что

 

, .

 

Построим однопараметрическое семейство операторов

 

(a) = e^ia.

 

Из эрмитовости следует унитарность (a):

 

= e^iae^-ia= .

 

Из коммутативности с следует коммутативность с :

 

(a) = (a),

 

откуда, умножая слева на и используя унитарность, найдем

 

(a)(a) = .

 

Таким образом, после совершения унитарного преобразования гамильтониан остается неизменным:

= .

 

Это и означает (собственно по определению), что в системе есть симметрия.

Важно, что все рассуждения можно обратить. Если (a) - унитарное однопараметрическое преобразование, сохраняющее гамильтониан, то существует сохраняющаяся наблюдаемая, оператор которой находится как

= .

 

Этот оператор эрмитов и коммутирует с гамильтонианом:

 

, .

Пример. Рассмотрим систему с одной степенью свободы (координата x) и в качестве возьмем оператор импульса:

= = -ii Þ (a) = e^i/ia = e^ad/dx.

 

Посмотрим, как он действует на волновую функцию:

(a)y (x) = e^ad/dx y() = y(x) = .

 

Но справа стоит разложение функции y (x+a) в ряд Тейлора по a. Таким образом, оператор (a) есть оператор трансляции на a:

 

y (x) = y (x+a).

 

Очевидно, что оператор ⁺(a) есть оператор трансляции на -a:

 

⁺(a) y (x) = y (x-a).

 

В результате рассматриваемого преобразования операторы наблюдаемых переходят в

 

=⁺(a)(a).

 

Найдем в явном виде, считая, что = (x). Имеем:

 

= y (x)(x) (a) y (x) = ⁺(a)((x) y (x+a)) º⁺(a)j (x) =

 

= j (x-a) = (x-a) y (x):

 

⁺(a)(x) (a) = (x-a).

 

Если же = (), то он коммутирует с(a), а потому не меняется:

⁺(a)()(a) =().

 

Обратные рассуждения (более важные) таковы. Пусть система трансляционно инвариантна. Это значит, что

 

=⁺(a)(a) = .

Так как

(x),

то

= (x-a).

Инвариантность означает, что

 

U (x-a) = U (x),

 

т.е. потенциальная энергия не зависит от x. Она есть константа, которую можно положить равной нулю. Тем самым в данном случае результат получается достаточно тривиальным: трансляционно инвариантной является система, состоящая из одной свободной частицы. Сохраняющейся величиной будет

 

= = ,

 

что в данном случае приводит к закону сохранения импульса.