СВОБОДНАЯ КВАНТОВАЯ ЧАСТИЦА

 

Рассмотрим поведение свободной квантовой частицы в координатном представлении, где

 

= -iiÑ, = ,

 

а гамильтониан имеет вид

= -i²/2mѲ ,

 

(m - масса частицы). Гамильтониан не меняется при трансляциях (см. пример), а потому

= 0,

 

и импульс сохраняется. В полный набор можно включить и - всего четыре оператора. Но степеней свободы три. Дело просто в том, что не все четыре оператора независимы: выражается через .

Возьмем в качестве операторов полного набора . Они имеют общие собственные функции

f_p(r) = e^{i/i pr}

Каждая из них является собственной и для гамильтониана:

f_p(r)=- i²/2mѲe^{i/i pr}=-e^i/ipr = p²/2m f_p(r)

 

Таким образом, функции f_p(r) описывают стационарные состояния частицы со значениями энергии

 

E = p²/2m.

Полная собственная функция гамильтониана, т.е. волновая функция стационарного состояния с зависимостью от времени, имеет вид

 

y(r,t) = e^{-i/i Et}y(r).

 

В нашем случае

y_p(r,t) = e^{-i/i p2}t/^2m ×e ^{i /i pr}.

 

Можно взять и другой полный набор: и (единичный вектор в направлении импульса). Так как = 1, то у него всего два независимых компонента. Добавляя гамильтониан, получим три оператора, как и должно быть. При таком выборе полного набора полные волновые функции стационарных состояний с учетом |p| = запишутся как

y_E,n(r,t) = Ce^{-i/i Et}.

 

Константа C находится из условия нормировки, но в данном случае ее проще найти из условия полноты системы волновых функций.

Проведем эту достаточно утомительную выкладку. В абстрактном гильбертовом пространстве условие полноты записывается как

 

|E,n.tñ áE,n.t|= .

 

Перейдем к координатному представлению, умножая это равенство слева на ár,а справа на|r^Rñ:

òdE ár|En,tñ áEn,t|r^Rñ = ár |r^Rñ.

Отсюда получаем:

= d(r-r^R).

Находим и дифференциалы:

 

dp= p²dpdn, |n|= 1; p²/2m = E, dE=|p|dp/2m, dp=2m/p dE.

 

dp= p²2m/p×dEdn= 2mpdEdn= 2mdEdn= (2 m ^3/2 )E^1/2dEdn;

 

dEdn= dp/(2m)^3/2 E^1/2.

 

Переходим в интеграле к dp и к p в показателе экспоненты и вспоминаем условие нормировки обычных волн де Бройля:

 

òdp/(2m)^3/2E^1/2×|C|²e^-ip(r-rR)/I = d(r-r^R)= 1/(2pi)³òe^-ip(r-rR)/idpÞ

C = 2m³E)^1/4 /(2pi)^3/2 .

Окончательно для нормированных волновых функций стационарных состояний имеем:

y_E,n(r,t) =