ДВИЖЕНИЕ КВАНТОВОЙ ЧАСТИЦЫ В «АДДИТИВНОМ» ПОЛЕ

Пусть потенциальная энергия имеет вид

V(r) = V₁(x) +V₂(y) +V₃(z) ºV₁(r₁) +V₂(r₂) +V₃(r₃) =.

Тогда гамильтониан представляется в виде трех слагаемых

= , = -i² /2m×Ѳ_j +V_j(r_j).

Так как

= , j¹k,

то

= при всех j,k = 1,2,3,

а значит

= .

В полный набор можно включить четыре оператора и , но они зависимы. Независимых будет всего три интеграла движения. Выберем в качестве операторов полного набора , и будем параметризовать стационарные состояния их собственными значениями E_j.

Стационарное уравнение Шредингера

y_E(r) = Ey_E(r)

решаем методом разделения переменных:

y_E(r) = y₁(r₁) y₂(r₂) y₃(r₃).

Подстановка дает:

y₂ y₃₁ y₁ + y₁ y₃₂ y₂ + y₁ y₂₃ y₃ = E y₁ y₂y₃.

Отсюда, в силу независимости переменных r_j,

_jy_j = E Þ 1/y_jj y_j = E_j,

где

= E.

Получаем три отдельных уравнения

_jy_j = E_jy_j Þ -i²/2md²/dr_jy_j(r_j) +V_j(r_j) y_j(r_j) = E_jy_j(r_j).