ЧАСТИЦА В БЕСКОНЕЧНОЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ЯМЕ

 

 

Рассмотрим поведение квантовой частицы в бесконечной прямоугольной потенциальной яме

 

V(x) = .

 

Стационарное уравнение Шредингера

 

-y^RR(x) + V(x)y(x)= E y(x)

 

имеет в качестве решения y(x) = 0 вне ямы. Поэтому нужно решать задачу на интервале

 

0 < x < l, где

 

-y^RR(x) = Ey(x)

 

с граничными условиями

 

y(0) = 0, y(l) = 0.

 

Вводя обозначение

 

2mE/i² = k²

 

запишем уравнение Шредингера как

 

y^RR(x) + k²y(x) = 0.

 

Общее решение уравнения имеет вид

 

y (x) = Ae^ikx + Be^-ikx.

 

Если E< 0, то k чисто мнимо, и обозначим его как ig. Тогда

 

y (x) = Ae ^-gx + Be ^gx.

 

Граничные условия дают

 

A + B = 0, Ae ^-gl + Be ^gl = 0,

 

откуда

Ash(gl) = 0.

 

Отсюда или A=0, и y=0, или g=0, и все равно y=0. Поэтому значения энергии могут быть только положительными.

Пусть это так. Тогда граничные условия дадут

 

A + B = 0, Ae ^ikl + Be ^-ikl = 0,

откуда

Asin(kl) = 0.

 

Так как A ¹ 0, то sin(kl) = 0, откуда kl = pn, где n = ±1, ±2, .... Для энергии

E = i² k² /2m = i² /2m × (pn/l)²,

 

т.е. получаем дискретный энергетический спектр

 

E_n = p²i²/2ml² × n².

 

Волновые функции стационарных состояний теперь запишутся как

 

y_n(x) = Asink_nx,

 

причем вырождения нет, так как числам n и -n отвечают волновые функции, различающиеся только знаком, а значит описывающие одно состояние. Таким образом, спектр не только дискретный и простой. Константу A находим из условия нормировки:

 

1 = (y_n ,y_n) =dx =

= |A|²l/2 Þ A = (2/l)^1/2

 

 

и окончательно для нормированных волновых функций стационарных состояний имеем:

 

y_n(x) = (2/l)^1/2sinpn/l×x.

 

Для движения свободной частицы мы имели

 

f_p(x) = 1/(2pi)^1/2e^{i/i px}.

 

Это есть обобщенная волновая функция. Так как квадрат ее модуля есть константа, то частицу с равной вероятностью можно найти в любой точке прямой. Это соответствует инфинитному движению частицы. В нашем случае получилась обычная волновая функция, равная нулю вне интервала (0,l). Это значит, что мы можем найти ее только внутри ямы, что соответствует финитному движению. В этом принципиальная разница между двумя рассмотренными случаями.