Министерство общего и профессионального образования РФ Воронежский государственный университет факультет ПММ кафедра Дифференциальных уравнении Курсовая работа Моделирование распределения потенциала в МДП-структуре Исполнитель студент 4 курса 5 группы Никулин Л.А. Руководитель старший преподаватель Рыжков А.В. Воронеж 1998г. ОГЛАВЛЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛА В МДП-СТРУКТУРЕ Математическая модель 3 Пуассона и для граничных условий раздела сред Уравнение Пуассона 5 Граничные условия раздела сред 8 Общий алгоритм численого решения задачи Метод установления 10 Метод переменных направлений 13 Построение разностных схем 16 ПРИЛОЖЕНИЕ ЛИТЕРАТУРА Математическая модель распределения потенциала в МДП-структуре Математическая модель Пусть jx,y - функция, описывающая распределение потенциала в полупроводниковой структуре.
В области оксла СDEF она удовлетворяет уравнению Лапласа d2j d2j 0 dx2 dy2 а в области полупроводника прямоугольник ABGH - уравнению Пуассона d2j d2j 0 dx2 dy2 где q - элементарный заряд e enn -диэлектрическая проницаемость кремния Ndx, y -распределение концентрации донорской примеси в подложке Nax, y -распределение концентрации акцепторной примеси в подложке e0 -диэлектрическая постоянная 0 D E y B G C F A H x На контактах прибора задано условие Дирихле j BC Uu j DE Uз j FG Uc j AH Un На боковых сторонах полупроводниковой структуры требуется выполнение однородного условия Неймана вытекающее из симметричности структуры относительно линий лежащих на отрезках AB и GH dj 0 dj 0 dy AB dy GH На боковых сторонах окисла так же задается однородное условие Неймана означающее что в направлении оси OY отсутствует течение электрического тока dj 0 dj 0 dy DC dy EF На границе раздела структуры окисел- полупроводник ставится условие сопряжения j -0 j 0 eok Ex -0 - enn Ex 0 - Qss где Qss -плотность поверхностного заряда eok -диэлектрическая проницаемость окисла кремния enn -диэлектрическая проницаемость полупроводника. Под символом 0 и-0 понимают что значение функции берется бесконечно близко к границе CF со стороны либо полупроводника либо окисла кремния. Здесь первое условие означает непрерывность потенциала при переходе границы раздела сред а второе - указывает соотношение связывающее величину разрыва вектора напряженности при переходе из одной среды в другую с величиной поверхностного заряда на границе раздела.
ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ Использование разностных схем для решения уравнения
Предположим при yj- y yj- Exxi, yj Ei, j const yj- y yj- Exxi - ,yj Ei... Пуассона и для граничных условий раздела сред Уравнение Пуассона. В области x, y 0 x Lx , 0 y Ly вводится сетка Wx, y 0 i M1 , 0 j M2 x0...
Складывая равенства и учитывая условия ene0 dj - e1e0 dj - -Qss dx dx ... SiO2 e1 Si y en x Для области V0j yj x ene0 тExx, y - Ex0,ydy ene0 т E... Граничные условия раздела сред. h1 - Qss 2 h h где h h1 h-2 . Ey0,j - Ey0,j- 2 2 q Nd0j - Na0j h1rj 2 что можно записать 1 ene0 jij ...
Способыточного решения задачи 1 выдерживающие обобщения на случай пере... Для каждой из двух разностных схем 4 и 6 рассмотрим разность для счта ... . Именно, рассмотрим простейшую явную разностною схему Up1mn - Upmn LxxU... Общий алгоритм численого решения задачи Метод установления.
Рассмотрим двумерное уравнение теплопроводности dU LU fx, t , xОG02 , ... Пусть nh - граница сеточной области wh, содержащая все узлы на сторона... Переход от слоя n на слой n1 совершается в два этапа с шагами 0.5t . yn - yn L1yn L2yn jn 3 0.5t yn1 - yn L1yn L2yn1 jn 4 0.5t Эти уравнени... 1 yi1-1 - 2 1 1 yi1 1 yi11 - Fi1 h21 h21 t h21 i1 1 N1-1 10 y m при i1...
jki-1,y 1 t t . jkij - t . jki-1,j 1 t t . jk ij - t . jki-1,j 1 t t.
ЛИТЕРАТУРА 1. Годунов С.К Рыбинский В.С. Разностные схемы 2. Кобболд Р. Теория и приминение транзисторов 3. Самарский А.М. Теория разностных схем 4. Самарский А.М Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений 5. Самарский А.А Андреев В.Б. Разностные методы решения эллиптических уравнений 6. Калиткин Н.Н. Численные методы.