Компьютерные технологии математического моделирования процессов управления и производства.

Модель (modus – мера, масштаб, способ действия) – упрощенное представление о реальном объекте, процессе или явлении. Модель отражает существенные особенности изучаемого объекта, процесса или явления. В моделях отражаются глубинные закономерности, установленные в результате целенаправленных исследований.

Моделирование – метод познания, состоящий в создании и исследовании моделей реальных объектов, процессов, явлений. При моделировании осуществляется замещение одного объекта другим с целью получения информации о важнейших свойствах объекта-оригинала с помощью объекта-модели.

Моделирование применяется тогда, когда реальный эксперимент по каким-либо причинам невозможен или затруднен, например, при изучении явлений, протекающих в течение десятков лет, либо удаленных в пространстве. Моделирование дает ускорение, удешевление, упрощение и любое другое усовершенствование процесса исследования, достигаемого за счет работы с более простым объектом, чем исходный, то есть с моделью. С другой стороны, упрощение действительности в некоторых случаях является недостатком моделирования, и полученные результаты часто теряют практическую ценность. Моделирование оправдано в качестве предварительного этапа исследования, позволяющего принять более обоснованное решение для проведения реального эксперимента.

Ведущее место среди информационных моделей занимают математические модели.

Математическая модель – модель, представленная системой математических соотношений (уравнений, неравенств, функции т. д.), отражающих существенные свойства объекта или явления. Математические модели основаны на формальных языках. Математическое моделирование – процесс установления соответствия данному реальному объекту некоторого математического объекта (уравнения, неравенств, систем).

Математический инструментарий, применяемый в прикладных математических исследованиях, весьма разнообразен. По применяемому математическому аппарату математические модели можно классифицировать на: матричные модели; модели, основанные на применении обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений в частных производных; вероятностные модели и др.

Ведущее место среди математических моделей на производстве занимают оптимизационные модели, т.к. очень часто приходится среди множества возможных вариантов отыскивать наилучшие решения при ограничениях, налагаемых на природные, экономические и техноло­гические возможности производства.

Оптимизационные модели на производстве

Широкий круг задач – планирование товарооборота, размещение розничной торговой сети города, планирование товароснабжение города, района, распределение работников по должностям (задача о назначении), распределение ресурсов, планирование капиталовложений, определение оптимального ассортимента товаров, установление оптимального рационального режима работы и др. являются оптимизационными. Значительная доля управленческих, конструкторских, экономических решений также можно рассматривать как решение задач оптимизации.

Оптимизационные модели – это модели, предназначенные для выбора наилучшего варианта из определенного или бесконечного числа вариантов производства, распределения или потребления. Оптимизационные модели, как и другие, упрощают действительность. Тем не менее, оптимизационные модели по сравнению с интуитивными умозрительными моделями имеют значительные преимущества: не допускают логических ошибок, так как могут быть математически проверены на наличие нарушений логики; являются бескомпромиссными и не содержат ничего лишнего, сводят проблему к ее сути и содействуют выражению основополагающих взаимосвязей целей и средств.

Задачи оптимизации (или задачи математического программирования) – это задачи нахождения максимального или минимального (или равное определенному числу) значения некоторой функции, называемой целевой функцией. Если заданы ограничения на аргументы целевой функции, то задача называется задачей условной оптимизации, если ограничения не накладываются, то задачей безусловной оптимизации. «Теория оптимизации», с одной стороны, является самостоятельной наукой, а, с другой стороны, составной частью науки под названием «исследование операций».

По содержанию можно определить следующие виды задач оптимизации:

· Транспортные задачи (классическая, много продуктовая и др.);

· Задачи производственного планирования (задача рационального распределения ресурсов или задача определения оптимального ассортимента продукции);

· Задачи управления запасами;

· Задачи загрузки производственных мощностей;

· Задачи минимизации дисбаланса на линии сборки (задача минимакса);

· Задачи планировки и размещения промышленного оборудования;

· Задача распределения финансовых вложений (внутренних и внешних – инвестиций);

· Задача оптимизации плана занятости;

· Оптимизация рекламной компании;

· Задача проектирования оптимальных трасс линейных сооружений и др.

Наиболее распространенными задачами оптимизации являются задачи линейного программирования. Такая их распространенность объясняется следующим: с их помощью решают задачи распределения ресурсов, к которым сводится очень большое число самых различных задач; разработаны надежные методы их решения, которые реализованы в поставляемом программном обеспечении; ряд более сложных задач сводится к задачам линейного программирования. Термин «линейное программирование» характеризует определение програм­мы (плана) работы конкретного технико-экономического объекта на основе выявления линейных связей между его элементами.

Существуют еще так называемые задачи динамического программирования – задачи, где целью оптимизации является установление наилучшей последовательности тех или иных работ (производственных операций). Динамическое программирование – это метод, наиболее эффективный при решении задач, распадающихся на ряд последовательных этапов (шагов), таких как планирование производства и инвестиций на ряд временных интервалов (лет, кварталов, месяцев), последовательность тестовых испытаний при контроле аппаратуры, поиск оптимальной траектории движения и др. Окончательное решение вырабатывается последовательно (по шагам), причем на каждом шаге приходится решать однотипные задачи, которые существенно проще, чем решение исходной задачи в целом. Одной из первых задач оптимального проектирования, которую в нашей стране предлагалось решать с помощью метода динамического программирования, была задача поиска оптимальной трассы новой железной дороги, соединяющей две заданные точки.

В производственной практике нередко возникают задачи, в математических моделях которых коэффициенты целевой функции или системы ограничений не являются постоянными числами, а меняются в зависимости от некоторых параметров. Например, прибыль от реализации (или цена) продукции в задаче об оптимальном использовании ресурсов может носить сезонный характер и является функцией времени. Стохастические оптимизационные задачи представляют собой задачи вероятностного (стохастического) характера. В стохастической постановке эти задачи будут полнее отображать экономическую действительность.

Деление оптимизационных задач на эти классы представляет значительный интерес, т.к. специфические особенности тех или иных задач играют важную роль при разработке и выборе методов их решения. Графоаналитическим методом решаются простые задачи оптимизации. Математические модели в этих задачах не должны быть сложными, т.к. в противном случае требуется много времени для их решения. Начало линейному программированию было положено в 1939 г. советским математиком-экономистом Л. В. Кан­торовичем. Спустя десять лет американский математик Дж. Данциг разработал эффективный метод решения данного класса задач — симплекс-метод.

Для решения задач нелинейного программирования с функцией одной переменной применяется классический метод, метод равномерного перебора, метод золотого сечения и метод Фибоначчи. К численным методам поиска экстремума функции n – переменных можно отнести метод покоординатного спуска, метод Хука-Дживса и Ньютона, градиентный метод, метод сопряженных направлений (в задачах без ограничений) и метод покоординатного спуска, метод условного градиента, барьерных и штрафных функций, метод линеаризации (в задачах с ограничениями).