Анализ устойчивости рам методом перемещений в канонической форме

Общая потеря устойчивости. Общий ход решения задачи анализа устойчивости рамы при узловом действии нагрузки следующий. В качестве неизвестных в сжато-изогнутой раме (при отклонении ее в искривленное состояние) принимаем углы поворота узлов и линей­ные их смещения. Как и в классическом расчете на прочность, обо­значаем неизвестное через Z_i. Если дана система узловых вертикаль­ных сил Р_i, определяем ее одним каким-то параметром Р_п (одна из продольных сил) и находим соотношение между силами. Будем далее находить параметр продольной силы для n-го стержня:

Зная продольные силы и полагая их изменение до критического состояния пропорциональным, определяем соотношения между пара­метрами . Задача заключается в определении наименьшего критического значения параметра

По канонической форме метода перемещений в соответствии с ранее изложенным за основную систему принимаем раму с введен­ными фиктивными защемлениями жестких узлов и дополнительными против смещений опорными стержнями. При этом обычным путем устанавливаем кинематическую неопределимость системы. Так, для рамы по рис. 269, а имеем три неизвестных: угол поворота узла 1 (Z₁), линейное смещение узла 2 (Z₂) и угол поворота узла 3 (Z₃). Основная система (при защемлении узлов 1 и 3 и подкреплении узла 2 стержнем) представлена на рис. 269, б. В искривленном состоянии (рис. 269, а) каждое каноническое уравнение метода пере­мещений выражает условие равенства нулю полной упругой реакции, вызванной всеми неизвестными перемещениями Z₁, Z₂ и Z₃.

Если от Z₁ получаем упругие реакции r₁₁, г₂₁, г₃₁, от Z₂ —упру­гие реакции г₁₂, г₂₂, г₃₂, от Z₃ —упругие реакции г₁₃, г₂₃, г₃₃, то

условия равенства нулю полных реакций в введенных связях будут выражены так:

Если система получает искривление (происходит разветвление формы равновесия), перемещения Z_i отличны от нуля, что возможно только в случае, когда определитель D_v из коэффициентов при неизвестных Z_i; равен нулю.

Следовательно, условие потери устойчивости рамы запишется так:

(18)

В значения «единичных» упругих реакцийвойдут выражения функций от параметра . Раскрыв определи-

тельпо (18), получим трансцендентное уравнение относительно v, которое имеет ряд корней; выбираем наименьшее значение v.

Решение этого уравнения проводим способом попыток.

Пример.Найти критическое значение силы Р (рис. 269, а), если Р₁ = Р₂= Р₃; длины стержней h=l, момент инерции сечений / = const.

Решение. Параметрдля всех сжатых стержней 1-3, 3-4, 3-5 одинаков; стержень 1-2 не сжат. Система имеет три степени свободы: углы поворота узлов 1 и 3 и смещение верхнего узла 2. Основная система представлена на рис. 269, б. Эпюры моментов в единичных состояниях изображены на рис. 269, в - д. Моменты, действующие на узел против часовой стрелки, принимаем положитель­ными (реактивный момент при этом - по часовой стрелке); реакцию, действующую

на стержень вправо, считаем положительной (тогда реакция со стороны дополни­тельной опоры вызывает растяжение стержня).

По рис. 270, а находим (действия на узлы и опоры):

По рис. 270, б имеем:

По рис. 270, в получаем:

При постоянном i пишем по (18) :

Развернув определитель, получаем следующее трансцендентное уравнение:

Решая это уравнение способом попыток, получаемПриведенная длина

Локальная потеря устойчивости. Вполне возможна локальная (местная) потеря устойчивости в рамной системе, т. е. потеря устой­чивости отдельными стержнями до потери устойчивости всей рамы в целом.

Пример.Определить значения критических нагрузок при локальной потере устойчивости для рамы (рис. 271, о), ригель которой во втором пролете имеет и подперт упругой опорой с малым коэффициентом жесткостиДлина стержней , Моменты инерции крайних стоек и консоли I, средней стойки 1,5I, левого ригеля 2I. Рама получает смещение , которое связано

с упругой реакцией линейным соотношением . Жесткость IE = 400 кН-м²;

hx = G м. Дано г=1,8EI/=10/3 кН/м. Устойчивое значение г_уст=18,3 кН/м.

Решение. Последовательно увеличивая силы Р, приходим прежде всего к по­тере устойчивости крайней левой стойки (рис. 271,6), для которой по формуле (б)

получаем

Полагая, что левая стойка получила новые связи, переходим к анализу устойчи­вости крайней правой стойки (рис. 27, в). Используем при этом характеристиче­ское уравнение (в) :

(а)

Решая это уравнение для наших данных, получаем

Рассмотрим еще локальную потерю устойчивости верхней консоли длиной h₂ (рис. 271, г). Единичному углу поворота узла 2 соответствует суммарный момент

(б)

Этот момент уравновешивается моментом, действующим от консоли:

(в)

Приравняв (б) и (в), получим условие потери устойчивости консоли (рис. 271, г):

(г)

где—по данным примера;

Уравнение (г) для нашего примера таково:

Низший корень этого уравнения

Теперь, считая, что стержни 1, 3 и 4 получили определенные ограничения в пере­мещениях, вводя две степени свободы (Z₁ и Z₂), составляем два канонических уравнения по методу перемещений, откуда получаем для средней стойки ν2= 4,73; Р_кр=35бкН (рис. 271, д).

Таким образом, сначала теряет устойчивость стойка 1, затем 3, далее 2 и, наконец, средняя стойка.