Общее уравнение упругой линии сжато-изогкутого стержня

Общее уравнение упругой линии сжато-изогкутого стержня

Применение общего уравнения упругой линии сжато-изогнутого стержня в форме метода начальных параметров позволяет значительно упростить решение ряда… (1) Получаемое решение дает достаточно точные результаты при действии сжимающей силы S<0,85Sэ, где Sэ — эйлерово…

Упругие реакции для сжато-изогнутого стержня в единичных состояниях

Как известно, по методу перемещений необходимо уметь опре­делять реакции в введенных связях (заделках и в дополнительных опорных стержнях), реакции… Рассмотрим определение этих реакций на основе применения обобщенных уравнений… 1. Стержень, шарнирно опертый при наличии взаимного линейного смещения. Для этого случая (рис. 264, а) при взаимном…

I

2. Стержень, защемленный одним концом, со свободным верхним концом. В данном случае поперечная сила

j

равна нулю. Положим, что защемление получает поворот на угол α0=1 (рис. 264, в).Момент в защемлении M₀ уравновешен моментом от силы Р. Обозначая k = P/(EI)0.5по уравнению (9), пишем для верхнего свободного конца ус­ловие равенства нулю изгибающего момента:

откуда

3. Стержень, защемлен­ный одним концом, дру­гим шарнирно опертый при Q= 0. Рассмотрим пер­вый случай, когда Q = 0 (рис. 265, а). Пусть имеет место ли­нейное смещение заделки без поворота Момент в защемлении в этом случае равен моменту силы Р, т. е.

Рассмотрим теперь второй случай, когда Q = 0 и задан угол поворота защемления 1

 

при наличии линейного смещения заделки (рис. 265, б). По уравнению (8) получаем при х = l

откуда

Применяя теперь уравнение (9), находим при

4. Стержень, защемленный двумя концами при Q=0. Найдем моменты, действующие со стороны защемлений а и b на стержень при повороте верхнего защемления на угол (рис. 265, е), если По уравнению (8) имеем

откуда

Теперь по уравнению (9) получаем

Важен еще случай защемления стержня двумя концами при наличии взаимного смещения концов без поворотов заделок.

По уравнению (17.7), при Q=0

откуда

5. Стержень, шарнирно опертый одним концом и защемленный другим. Рассмотрим влияние поворота защемления

при Q<>0 на угол а=1 (рис. 266, а). В этом общем случае пользуемся условием равенства прогиба нулю на правом конце:

откуда при а_а=1 получаем

где

Найдем в этом случае реакцию:

Рассмотрим теперь случай, когда для того же стержня задано смещение защемления на Δ=1 без поворота (рис. 266, б). Применим теорему Бетти к двум состояниям линейного смещения и поворота:

откуда

Далее, знаяи дополнительный момент от продольных сил, определяем реакцию

(16)

В формуле (16)

(17)

По формуле (17) составлены таблицы функции ή1.

6. Стержень, защемленный двумя концами при Изучаем влияние единичного поворота левой заделки на

α_а=1 (ряс. 267, а). Используя уравнения равенства нулю прогиб и угла наклона у правой заделки, получаем:

Используя выражение (9), определяем момент М_ь:

Определяем в этом случае реакцию R_a, выражая ее через опорные моменты:

где

Отсюда имеем равенство

Рассмотрим теперь влияние взаимного линейного смещения за­щемлений (рис. 267, б). В этом случае, очевидно, M_a = M_b. Приме­нив теорему Бетти к двум состояниям (рис. 267, а, б), получим

откуда

Обозначив реакцию во втором состоянии через получим

или

Таблица численных значений функций дана

в работе [8] и в приложении 2.

Рассмотрим еще случаи потери устойчивости стерж­ней на упругих опорах. Реакцию упругой опоры полагаем линейно зависящей от смещения ее:

где г - коэффициент жесткости. Нередко этот коэффициент меньше , где-устойчивый коэффициент жесткости, соответствующий

(для стержня по рис. 268, а). В первом случае из условия равновесия получаем , откуда Р = и, значит, (а)

Получили выражение для крити­ческого параметра в случае стерж­ня по рис. 268, а.

Если в выражении (а) поло­жить , получим значение устойчивого коэффициента жесткости

Для второго случая (рис. 268, б), приняв начало координат в шарнирной опоре и считая за неизвестные а₀ и Q_o, пишем два . граничных условия для верхней точки, т. е. что при1

(б)

Исключив из системы уравнений (б) значение а_п и приняв Q_o , получим следующее уравнение для критического состояния:

(в)

Из этого уравнения находим критическое значение параметра v для стержня, шарнирно опертого нижним концом и заделанного верхним концом в подвижное защемление, подкрепленное упругой опорой. Ниже приведены таблицы упругих реакций для сжато-изогнутого стержня (табл. 7 и 8).

Анализ устойчивости рам методом перемещений в канонической форме

Зная продольные силы и полагая их изменение до критического состояния… По канонической форме метода перемещений в соответствии с ранее изложенным за основную систему принимаем раму с…

Устойчивость симметричных рам и стержней

Для симметричной рамы (рис. 272, а) при нагружении симметричной нагрузкой и при обратносимметричной форме отклонения, составляя уравнения… 2Q01 = 0; Q01 = 0, для верхнего этажа