Дифференциальные уравнения. Линеаризация - раздел Менеджмент, Управление техническими системами Известно, Что Любое Движение, Процессы Передачи, Обмена, Преобразования Энерг...
Известно, что любое движение, процессы передачи, обмена, преобразования энергии и вещества математически можно описать в виде дифференциальных уравнений (ДУ). Любые процессы в АСР также можно описать дифференциальными уравнениями, которые определяют сущность происходящих в системе процессов независимо от ее конструкции и т.д. Решив ДУ, можно найти характер изменения регулируемой переменной в переходных и установившихся режимах при различных воздействиях на систему.
Для упрощения задачи нахождения ДУ, описывающего работу АСР в целом, систему разбивают на ее отдельные элементы, переходные процессы в которых описываются достаточно простыми ДУ. Так как ДУ описывают работу системы независимо от физической сущности протекающих в ней процессов, то при декомпозиции системы нет необходимости учитывать их физическую целостность. Для каждого элемента структурной схемы необходимо составить ДУ, определяющее зависимость изменения выходной величины от входной.
Так как выходная величина предыдущего элемента является входной для последующего, то, определив ДУ отдельных элементов, можно найти ДУ системы.
Однако такой метод применим только в частных случаях. Дело в том, что в большинстве случаев в реальных элементах системы связь между входной и выходной величинами является нелинейной и часто задается в графической форме. Поэтому, даже если ДУ системы и будет получено, оно будет нелинейным. А аналитическое решение нелинейных ДУ возможно далеко не всегда.
Для решения этой проблемы учитывают, что в процессе регулирования отклонения всех изменяющихся величин от их установившихся значений малы, и поэтому возможна замена нелинейных ДУ приближенными линейными ДУ, то есть возможна линеаризация дифференциальных уравнений.
Рассмотрим сущность процесса линеаризации на примере сушильного шкафа. Зависимость температуры объекта от подаваемого напряжения в большинстве случаев нелинейна и имеет вид, представленный на рисунке 1.17.
Графически линеаризацию некоторого уравнения от двух переменных F(х,у) = 0 в окрестности некоторой точки (х0, у0) можно представить как замену рассматриваемого участка кривой на касательную (см. рисунок 1.17), уравнение которой определяется по формуле
,
где 
и 
- частные производные от F по х и у. Данное уравнение называется уравнением в приращениях, поскольку значения х и у здесь заменены на приращения Dх = х - х0 и Dу = у - у0.
Линеаризация ДУ происходит аналогично, отличие состоит только в том, что необходимо искать частные производные по производным (
, 
, 
и т.д.). Итоговое уравнение в приращениях будет содержать приращения производных: Dх’ = х’ – х’0, Dх” = х” – х”0, … , Dy’ = y’ – y’0, Dy” = y” – y”0, и т.д.
Пример. Линеаризация нелинейного ДУ.
3xy - 4x2 + 1,5
y = 5
+ y
Данное ДУ является нелинейным из-за наличия произведений переменных х и у. Линеаризируем его в окрестности точки с координатами х0 = 1, 
= 0, 
= 0. Для определения недостающего начального условия у0 подставим данные значения в ДУ:
3у0 - 4 + 0 = 0 + у0, откуда у0 = 2.
Введем в рассмотрение функцию
F = 3xy - 4x2 + 1,5x’y - 5y’ - y
и определим все ее производные при заданных начальных условиях:
= (3у - 8х
= 3*2 - 8*1 = -2,
= (3х + 1,5x’ - 1= 3*1 + 1,5*0 - 1 = 2,
= (1,5у= 1,5*2 = 3,
= -5.
Теперь, используя полученные коэффициенты, можно записать окончательное линейное ДУ:
-5.Dy’ + 2.Dy + 3.Dх’ - 2.Dх = 0.
¨
Линеаризация ДУ, заданного в явном виде относительно у, т.е. y = F(x) производится по формуле
,
то есть в данном случае нет необходимости искать производные по у.
Все темы данного раздела:
По наличию внутреннего источника энергии
· системы прямого действия,
· системы с вспомогательным источником энергии.
9 По принципу регулирования:
· по отклонению:
Основные модели
Работу системы регулирования можно описать словесно. Так, в п. 1.1 описана система регулирования температуры сушильного шкафа. Словесное описание помогает понять принцип действия системы, ее назнач
Статические характеристики
Статической характеристикой элемента называется зависимость установившихся значений выходно
Временные характеристики
Переход системы от одного установившегося режима к другому при каких-либо входных воздействиях называется переходным процессом. Переходные процессы могут изображаться графически в виде кривой y(t).
Преобразования Лапласа
Исследование АСР существенно упрощается при использовании прикладных математических методов операционного исчисления, поскольку позволяет от решения ДУ перейти к решению алгебраических уравнений. Н
Определение передаточной функции
Преобразование ДУ по Лапласу дает возможность ввести удобное понятие передаточной функции, характеризующей динамические свойства системы.
Например, операторное уравнение
3s2
Соединения звеньев
Поскольку исследуемый объект в целях упрощения анализа функционирования разбит нами на звенья, то после определения передаточных функций для каждого звена встает задача объединения их в одну переда
Передаточные функции АСР
Для исследования и расчета структурную схему АСР путем эквивалентных преобразований приводят к простейшему стандар
Определение параметров передаточной функции объекта по переходной кривой
Процесс получения передаточной функции объекта, исходя из данных о переходном процессе, называется идентификацией объекта.
Определение частотных характеристик
Известно, что динамические процессы могут быть представлены частотными характеристиками (ЧХ) путем разложения функции в ряд Фурье.
Предположим, имеется некоторый объект и требуется определ
Логарифмические частотные характеристики
Логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ) используются довольно часто для описания динамических параметров различных устройств. Существуют два основных вида ЛЧХ, которые, как правило, использу
Понятие устойчивости линейных систем
Важным показателем АСР является устойчивость, поскольку основное ее назначение заключается в поддержании заданного постоянного значения регулируемого параметра или изменении его по определенному за
Корневой критерий
Функция yп(t) является решением однородного дифференциального уравнения, поэтому устойчивость системы однозначно зависит от корней характеристического уравнения.
Если корни дейс
Критерий Гурвица
Критерий Гурвица, как и критерий Стодола, определяет устойчивость по характеристическому полиному системы без непосредственного вычисления его корней. Однако критерий Стодола является необходимым к
Критерий Михайлова
Описанные выше критерии устойчивости не работают, если передаточная функция системы имеет запаздывание, то есть может быть записана в виде
Критерий Найквиста
Данный критерий определяет устойчивость по частотным характеристикам системы. Для построения частотных характеристик, например, АФХ требуется подстановка s = jw в передаточную функцию системы, кото
Показатели качества
Если исследуемая АСР устойчива, то может возникнуть вопрос о том, насколько качественно происходит регулирование в этой системе и удовлетворяет ли оно технологическим требованиям. На практике качес
Прямые показатели качества
К ним относятся: степень затухания y, перерегулирование s, статическая ошибка ест, время регулирования tp и др.
Рисунок 1.47
Корневые показатели качества
К ним относятся: степень колебательности m, степень устойчивости h и др. Корневые показатели не требуют построения переходных кривых, поскольку определяются по корням характеристического полинома.
Частотные показатели качества
Для определения частотных показателей качества требуется построение АФХ разомкнутой системы и АЧХ замкнутой системы.
По АФХ определяются запасы: DA - по амплитуде,
Интегральные показатели качества
Интегральные показатели качества определяются путем интегрирования (суммирования) некоторых функций (переходных процессов или других показателей качества). Разновидностью интегральных показателей к
Типовые законы регулирования
Для регулирования объектами управления, как правило, используют типовые регуляторы, которые можно разделить на аналоговые и дискретные. К дискретным регуляторам относятся импульсные, релейные и циф
Определение оптимальных настроек регуляторов
Регулятор, включенный в АСР, может иметь несколько настроек, каждая из которых может изменяться в достаточно широких пределах. При этом при определенных значениях настроек система будет управлять о
Государственная система приборов (ГСП)
ГСП объединяет в себе все средства контроля и регулирования технологических процессов. Характерной особенностью ГСП является:
1) блочно-модульный принцип, лежащий в основе конструкций устр
Основные определения
Прямое измерение – измерение, при котором искомое значение величины находят непосредственно из опытных данных.
Косвенное измерение - измерен
Виды первичных преобразователей
Первичные приборы или первичные преобразователи предназначены для непосредственного преобразования измеряемой величины в другую величину, удобную для
Термометры расширения. Жидкостные стеклянные
Тепловое расширение жидкости характеризуется сравнительным коэффициентом объемного расширения, значение которого определяется как
Термометры, основанные на расширении твердых тел
К этой группе приборов относятся дилатометрические и биметаллические термометры, основанные на изменении линейных размеров твердых тел с изменением температуры.
1) Конструкти
Газовые манометрические термометры
В основу принципа действия манометрического термометра положена зависимость между температурой и давлением термометрического (рабочего) вещества, лишенного возможности свободно расширяться при нагр
Электрические термометры
Принцип действия этого типа термометров основан на зависимости термо-ЭДС (ТЭДС) цепи от изменения температуры.
Термометры сопротивления
Измерение температуры термосопротивлениями основано на свойстве проводников и полупроводников изменять свое электрическое сопротивление при изменении температуры.
Вид функции R = f(t) зави
Пирометры излучения
Пирометры излучения основаны на использовании теплового излучения нагретых тел. Верхний предел измерения температуры пирометра излучения практически не ограничен. Измерение основано на бесконтактно
Пирометрические милливольтметры
Пирометрические милливольтметры являются электроизмерительными приборами магнито-электрической системы.
В
Потенциометры
RАВ
В
Автоматические электрические потенциометры
Схем
Методы измерения сопротивления
Для измерения сопротивлений термоэлектрических сопротивлений (ТС) часто используют автоматические электронные мосты, включенные по двухпроводной, трехпроводной или четырехпроводной схемам.
Жидкостные манометры
Широко применяются в качестве образцовых приборов для лабораторных и технических измерений. В качестве рабочей жид
Чашечные манометры и дифманометры
Чашечный (однотрубный) манометр является разновидностью U-образного трубного манометра (см. рис. 2.10), у которого одна из трубок заменена сосудом большого диаметра (чашкой). Измеряется давление Р
Микроманометры
Рисунок 2.11
Применяются для измер
Электрические манометры.
Преобразователи давления типа "Сапфир"
Эти манометры обеспечивают непрерывное преобразование значения измеряемого параметра (давления избыточного, абсолютного, р
Метод переменного перепада давления
Является самым распространенным и изученным методом измерения расхода жидкости, пара и газа.
В измерительной технике сужающими устройствами являются диафрагмы, сопла и сопла Вентури.
Расходомеры постоянного перепада давления
К ним относятся гидродинамические, поршневые, поплавковые, ротаметрические расходомеры.
Наиболее распрост
Методы измерения уровня
В общем объеме измерительных операций в нефтепереработке, нефтехимии и газовой промышленности измерение уровня составляет 18 - 20 %.
Под измерением уровня понимаетс
Буйковые уровнемеры
Действие буйкового уровнемера основано на законе Архимеда. Чувствительный элемент буйкового уровнемера - буй - мас
Гидростатические уровнемеры
В этих приборах измерение уровня жидкости постоянной плотности сводится к измерению давления, созданного столбом ж
Электрические методы измерения уровня
Для измерения уровня жидкости может быть использовано различие электрических свойств жидкости и парогазовой смеси
Радиоволновые уровнемеры
Предназначены для бесконтактного измерения и сигнализации уровня жидкости и сыпучих материалов путем облучения кон
Исполнительные устройства насосного типа
Структура ИУ насосного типа представлена на рисунке 2.24, где обозначено: u – управляющее воздействие со стороны регулятора, ИМ – исполнительный механизм (привод), РО – регулирующий орган (насос),
Исполнительные устройства реологического типа
Некоторые жидкости и дисперсионные системы могут изменять вязкость под действием электрического поля (например, ва
Исполнительные устройства дроссельного типа
Эти ИУ нашли преимущественное распространение в силу универсальности и простоты. В зависимости от u ИМ изменяет какой-либо параметр дросселя РО, что приводит к изменению расхода F.
Пропуск
Исполнительные механизмы
Стандартные исполнительные механизмы (ИМ) работают в комплекте с РО, образуя вместе ИУ, и классифицируются:
- по виду энергии, создающей перестановочное усилие (электричес
Условные обозначения
Все местные измерительные и преобразовательные приборы, установленные на технологическом объекте, изображаются на функциональных схемах автоматизации (ФСА) в виде окружностей (см. рисунок 2.31, а,
Часть 1. Теория Автоматического Управления (ТАУ) 4
1 Основные термины и определения ТАУ 4
1.1 Основные понятия 4
1.2 Классификация АСР 9
1.3 Классификация элементов автоматических систем 11
2 Характеристики и мод
Часть 2. Средства автоматизации и управления 63
1 Измерения технологических параметров 63
1.1 Государственная система приборов (ГСП) 63
1.2 Основные определения 63
1.3 Классификация контрольно-измерительных приборов 65
Новости и инфо для студентов