II. Георг Кантор

Развивая идеи Больцано, Георг Кантор пришел к еще более интересным выводам °. В качестве отправной точки своих иссле­дований он решительно принимает понятия бесконечного множе­ства II бесконечного числа и развивает на основе этих понятий «арифметику бесконечного». Применяя к бесконечному понятие порядка, он вводит понятие трансфинитного порядкового числа. Мы не намерены здесь входить во все детали этой достаточно хорошо известной теории; остановимся лишь на следующих двух дитересующих нас моментах.

Г. Кантор определяет бесконечное множество как обладающее свойством быть эквивалентным одной из своих частей, или, как­ой говорит, иметь одинаковую с ней «мощность». Зато конеч.ное множество может быть определено лишь посредством того факта, что оно не обладает частью, равномощной целому, другими слова­ми как множество, не являющееся бесконечным. Таким образом, как это было осознано уже Декартом, именно бесконечное являет­ся первичным и позитивным понятием, так что конечное может быть понято лишь посредством отрицания бесконечного. Отсюда следует, что при логическом конструировании арифметики поня­тие бесконечного и теория бесконечных множеств должны быть помещены до теории конечных чисел, ибо, предшествуя последней логически, они служат ей основанием. Причина того факта,-что понятие бесконечного является предшествующим как в арифме­тике, так и в геометрии, коренится в самой природе конечного числа. Так как последовательность конечных чисел с необходи­мостью продолжается в бесконечность, понятие бесконечного, оче­видно, должно содержаться в определении конечного числа.

Б. Исследуя понятия предела и континуума, Кантор получил чрезвычайно важный результат: мощность континуума бесконечно выше мощности счетного бесконечного множества. Таким образом, существуют по крайней мере две бесконечности.

Анализируя понятие предела, мы сталкиваемся с тем, что Кан­тор называет «точкой накопления» . Он определяет ее, отправ­ляясь от факта, что на любом расстоянии от этой точки найдется по крайней мере одна точка, принадлежащая последовательности: отсюда непосредственно следует, что существует бесконечное число таких точек, «близких» к точке предела, и что не сущест­вует точек, еще более «близких» к точке предела, чем точки, при­надлежащие последовательности. Задавшись целью установить существенные свойства континуума, Кантор открыл следующие характеристики, которые, как он предполагал, смогут послужить для конструктивного определения континуума (мы придерживаем­ся противоположного мнения, о чем будет сказано в следующем параграфе): все точки континуума являются точками накопления и составляют часть непрерывного множества, и наоборот: все точ­ки накопления принадлежат множеству. Другими словами, конти­нуум является неким законченным плотным и связным единст­вом. Между двумя любыми точками континуума с необходи­мостью расположено бесконечное (непрерывное) множество Других точек. В континууме нет двух лимитрофных (погранич­ных) точек. Все его точки разделены бездной бесконечного (не­прерывного) множества точек. Здесь дихотомия появляется в по­следний раз; н именно здесь мы с ней окончательно расстаемся. Действительно, поскольку выдвигаемая ею проблема является общей для всех математических дисциплин н поскольку имплицитные ей трудности не являются противоречиями, а суть просто парадоксы, у нас нет необходимости считаться с ними в ходе позитивного анализа движения. Всюду, где мы оперируем такими понятиями, как расстояние, прямая, путь, тело, мы оказываемся в области, в которой проблема Зенона предполагается решенной, так как иначе все поименованные понятия (расстояние, прямая, путь, тело) лишаются всякого смысла. Своими корнями проблема, поднятая Зеноном, уходит в глубины чистой математики. На уров­не же исследования движения этой проблемы более не сущест­вует.