Приложение 8. Задачи по теме «Логика»
1. Даны следующие простые высказывания:
А = {Число 3 является делителем числа 171},
B = {Коля Петров - отличник},
C = {Число 2 больше числа 3},
D = {Идет дождь}, и пусть A и B истинны, а С и D ложны. Применяя к данным элементарные операции отрицания, дизъюнкции, конъюнкции, эквиваленции и импликации, можно получить 34 сложных высказываний. Сколько среди них истинных?
2. По мишени произведено три выстрела. Пусть . Что означают следующие высказывания:
а)
б)
в)
г) ?
3. Какие из логических операций не будут иметь истинного значения, когда на входе операции все аргументы истинны? Сколько таких логических операций?
4. Какие из логических операций при обработке двух противоположных аргументов выдают различные значения, зависящие от порядка аргументов? Сколько таких логических операций?
5. Какие из логических операций будут иметь истинное значения, когда на входе операции все аргументы ложны? Сколько таких логических операций?
6. Какая формула соответствует высказыванию «для A достаточно B» (A и B – логические переменные)?
7. Какая формула соответствует высказыванию «для A необходимо B» (A и B – логические переменные)?
8. Какая формула соответствует высказыванию «неверно, что если C, то B» (C и B – логические переменные)?
9. Какая формула соответствует высказыванию «A тогда и только тогда, когда B» (A и B – логические переменные)?
10. Какая формула соответствует высказыванию «неверно, что A эквивалентно B» (A и B – логические переменные)?
11. Сформулируйте на естественном языке отрицание следующего высказывания, обосновав свою формулировку с помощью языка алгебры логики: "Если урок по информатике будет интересным, то никто из учеников - Петя, Витя, Кира не будет смотреть постоянно в окно".
12. Сформулируйте на естественном языке отрицание следующего высказывания: "Виктор пойдет на рыбалку только при солнечной погоде, если не будет жарко".
13. Мальчик решил в воскресенье закончить чтение книги, сходить в музей или кино, а если будет хорошая погода – пойти на реку выкупаться. В каком случае можно сказать, что решение мальчика не выполнено?
14. Пусть высказывания , , , . Прочитайте словесно следующие формулы: ; ; ; ;
; .
15. , . Прочитайте словесно: ; ; ; ; ; ; ; . Какие формулы по содержанию истинны независимо от значений истинности x и y? Какие формулы истинны независимо от содержания высказываний x и y?
16. Припишите буквам некоторые математические высказывания так, чтобы формулы оказались истинными: .
17. Ни 7, ни 13 не являются четными числами. С помощью высказываний , запишите это сложное высказывание.
18. Докажите равносильность .
Докажите следующие законы:
19. Закон объединения посылок:
20. Закон перестановки посылок:
21. Закон исключения дизъюнкции:
22. Закон исключения конъюнкции:
23. Закон отрицания импликации:
24. Закон исключения отрицаний в эквиваленции:
25. Закон переноса отрицания в эквиваленции:
26. Закон исключения отрицаний в импликации:
Дополнительные законы поглощения:
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33. Составьте таблицу истинности для высказывания
34. Составьте таблицу истинности для функции , в которой столбец значений аргумента A представляет собой двоичную запись числа 15, столбец значений аргумента B – числа 51, столбец значений аргумента C – числа 85. Число в столбце записывается сверху вниз от старшего разряда к младшему. Переведите полученную запись значения функции F в десятичную систему счисления.
35. Найдите восьмеричное представление значения логической функции в однобайтовом формате при .
36. Найдите четверичное представление значения логической функции в однобайтовом формате при .
37. Найдите восьмеричное представление значения логической функции в однобайтовом формате при .
38. При каких значениях переменных следующее выражение ложно?
Упростить логическое выражение:
39.
40. )
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55. Какие из ниже перечисленных логических формул являются тождественно-истинными (тавтологиями)?
1)
2)
3)
4)
5)
56. Заданы логические функции и . Путем тождественных преобразований получить минимальную форму записи функций и проверить, является ли функция тождественной функции .
57. Заданы логические функции и Необходимо:
1) путем тождественных преобразований получить минимальную форму записи функций
2) проверить, является ли функция тождественной функции .
58. Является ли тождественно-истинной данная формула: .
59. Является ли тождественно-истинной данная формула: ?
60. Даны два десятичных числа X и Y. Их перевели в двоичную систему счисления и определили, что в числе X из 6 разрядов четыре единицы, а в числе Y из 4 разрядов три единицы. Логическое произведение (конъюнкция) этих чисел равно 1012, а логическая сумма (дизъюнкция) - число 1111012. Определить числа X и Y в десятичной системе счисления.
61. Даны два десятичных числа X и Y. Их перевели в двоичную систему счисления и определили, что в числе X из 4 разрядов три единицы, а в числе Y из 5 разрядов две единицы. Логическое (побитовое) произведение этих чисел равно 102, а логическая (побитовая) сумма – 111102. Чему равны числа X и Y в десятичной системе счисления? При побитовом сложении или произведении чисел вычисляется результат соответственной логической операции над каждой парой бит независимо без переноса в следующий разряд.
62. Даны два десятичных числа X и Y. Их перевели в двоичную систему счисления и определили, что в числе X из 4 разрядов три единицы, а в числе Y из 5 разрядов две единицы. Логическое (побитовое) произведение этих чисел равно 12, а логическая (побитовая) сумма – 111012. Чему равны числа X и Y в десятичной системе счисления? При побитовом сложении или произведении чисел вычисляется результат соответственной логической операции над каждой парой бит независимо без переноса в следующий разряд.
63. Даны два десятичных числа X и Y. Их перевели в двоичную систему счисления и определили, что в числе X из 5 разрядов три единицы, а в числе Y из 4 разрядов три единицы. Логическое (побитовое) произведение этих чисел равно 10012, а логическая (побитовая) сумма – 111012. Чему равны числа X и Y в десятичной системе счисления? При побитовом сложении или произведении чисел вычисляется результат соответственной логической операции над каждой парой бит независимо без переноса в следующий разряд.
64. Каково наибольшее натуральное число X, при котором высказывание
будет ложным?
65. Каково наибольшее натуральное число X, при котором высказывание:
будет ложным?
66. Каково наибольшее натуральное число X, при котором высказывание:
будет истинным?