Решение.

1.Найдем критические точки:

Откуда получим две критические точки и .

2. Производные второго порядка:

, , .

3. В точке

, , , .

Следовательно в этой точке минимакс.

4. В точке

, , , .

Следовательно в этой точке функция имеет минимум, так как .

5. , .

17.4. Наибольшее и наименьшее значение функции
в замкнутой области

Для того чтобы найти наименьшее и наибольшее значения функции в ограниченной области D, следует найти значения функции в экстремальных точках и на границах области. Наибольшее и наименьшее из них являются соответственно наибольшим и наименьшим значениями функции в области D. При отыскании этих значений на границе области следует в уравнение подставить уравнение границы, разрешенное относительно одной переменной и рассматривать вопрос как для функции одной переменной. Покажем это на примере.

Пример 17.6. Найти наибольшее и наименьшее значение функции

в замкнутой области D, заданной системой неравенств , . Сделать чертеж.

Решение. Сделаем чертеж области D. Она ограничена сторонами треугольника АОВ, причем уравнение АВ: , уравнение ОВ: , уравнение АВ: (рис. 17.4).

Дальнейшее решение проведем по плану:

1. Найдем критические точки, в которых частные производные равны нулю:

Приравняем их нулю:

Решив эту систему, получим , . Точка М(8/3, 4/3) принадлежит области D.

2. Определим, будет ли в этой точке экстремум, для чего воспользуемся достаточным условием (17.1) предыдущего пункта:

,

.

Так как , следовательно, в точке М – min.

.

3. Найдем наименьшее и наибольшее значение функции z на границах области:

а) на границе ОА: , тогда функция , где .

Эта функция монотонно возрастает на данном отрезке, и ее наименьшее и наибольшее значения находятся на концах отрезка в точках А и О. , .

б) на границе ОВ: , поэтому , где . Найдем экстремум и значения функции на концах отрезка в т. О(0,0) и точка В(6,0).

– это точка минимума точке С, т.к. парабола с поднятыми вверх ветками имеет только минимум.

, , .

в) на границе АВ: . Запишем функцию z с учетом уравнения границы:

и .

Найдем только экстремум, так как значения функции в точках А и В были найдены выше.

.

Это тоже точка минимума, назовем ее точкой D. Найдем значение функции в этой точке:

.

г) Запишем и сравним значения функции, во всех экстремальных и граничных точках области:

, , , , , .

Очевидно, что наибольшее значение функция принимает в граничной точке области А и наименьшее – во внутренней точке минимума М.

Таким образом, нахождение наибольшего и наименьшего значения функции в замкнутой области свелось к функции одной переменной, с чем мы уже встречались в теме «Экстремумы функции одной переменной».

Если требуется определить наименьшее и наибольшее значение функции многих переменных, которые связаны друг с другом какими-то добавочными условиями, то эта задача так и называется задачей на условные экстремумы. Она выходит за рамки рассматриваемого курса. Ее можно найти в рекомендуемой литературе.

17.5. Подбор параметров для эмпирических формул простейшего
вида по методу наименьших квадратов

Рассматривая функции одной и многих переменных по способам их задания, мы всегда переходили от одного способа к другому по цепочке
формула, причем взаимный переход двух последних способов осуществлялся достаточно просто. Составление уравнения, связывающего две переменные величины, полученные при проведении опытов, натолкнулось на трудности двух видов.

1. Определение вида аппроксимирующей (приближенной) функции – линейной, степенной, гиперболической и т.д. Ее можно было решить из логики процесса: из теоретических соображений или на основании характера расположения точек, соответствующих экспериментальным данным.

2. Определение коэффициентов выбранной зависимости, чтобы она в каком-то смысле наилучшим образом описывала рассматриваемый процесс.

Для решения второй задачи разработаны различные методы корреляционного и дисперсионного анализа, в основе которых лежат два требования, предъявляемых к выбранной функции:

3. Сумма отклонений эмпирических данных от расчетных должна быть равна нулю:

. (17.2)

Это требование было необходимым, но недостаточным для того, чтобы определить коэффициенты искомой функции. Поэтому выдвинули второе требование

4. Сумма квадратов отклонений эмпирических данных от расчетных должна быть наименьшей:

. (17.3)

Отсюда название метода – метод наименьших квадратов. Покажем его действие на примере.

Пусть в результате эксперимента получено n значений функции у при соответствующих значения х. Результаты записаны в таблицу.