Экономический анализ задачи с использованием графического метода

Проведём экономический анализ, рассмотренный выше задачи по производству мороженого.

Математическая модель задачи имеет вид

F (x) =16x₁+14x₂→max

при ограничениях:

0,8x₁+0,5x₂ ≤ 400 (ограничение по молоку), (2.2)

0,4x₁+ 0,8x₂ ≤ 365(ограничение по наполнителям), (2.3)

x₁- x₂ ≤ 100 (рыночное ограничение по спросу), (2.4)

x₂ ≤ 350(рыночное ограничение по спросу), (2.5)

x_{1, 2} 0

Согласно найденному оптимальному решению фирме необходимо выпускать в сутки 312,5кг. сливочного и 300кг. шоколадного мороженного, при этом максимально возможный доход составит 9200 руб.

Определим, как влияет на оптимальное решение увеличение или уменьшение запасов исходных продуктов. Для анализа задачи примем, что неравенства системы могут быть активными или пассивными. Если прямая проходит через точку, в которой находится оптимальное решение, то будем считать, что она представляет активное ограничение. В противном случае прямая относится к пассивному ограничению.

Если ограничение активное, то будем считать, что соответствующий ресурс является дефицитным, так как он используется полностью.

Если ограничение пассивное, то ресурс недефицитный и имеется в фирме в избытке.

Рассмотрим увеличение ресурса правой части ограничения(2.2)по молоку (рис.2.6).

 

Рис.2.6 Расчет предельно допустимого запаса молока

При перемещении прямой (2.2) параллельно самой себе вправо до пересечения с прямыми (2.3) и (2.4), в точке M ограничение (2.2) будет оставаться активным. Точку M определим как точку пересечения прямых (2.3) и (2.4)

0,4x₁+0,8x₂= 365,

x₁+x₂=100.

Отсюда получаем координаты точки M (370,83;270,3).

Подставляя координаты точки Мв неравенство (2.2),получим предельно допустимый суточный запас молока:

0,8x₁+ 05x₂=0,8×370,83+0,5×270,3=432,1 кг.

При этом величина дохода составит:

F(x) =16×370,83+ 14×270,3= 9724,9 руб.

Рассмотрим увеличение ограничения по наполнителям (рис.2.7).

Рис.2.7 Расчет предельно допустимого запаса наполнителя

При перемещении прямой (2.3) параллельно самой себе вправо до пересечения с прямыми (2.2) и (2.5), в точке N ограничение (2.3) будет оставаться активным. Точку N определим как точку пересечения прямых:

0,8x₁+0,5x₂ = 400

x₂ =350.

Откуда координаты точки N(281,25; 350).

Предельно допустимый суточный запас наполнителей можно увеличить до значения

0,4x₁+0,8x₂=0,4×281,25+0,8×350=392,5 кг.,

при этом величина дохода составит:

F(x) =16×281,25+14×350 =9400 руб.

Рассмотрим возможность изменений правой части пассивных ограничений (2.4) и (2.5). Не изменяя оптимального решения (Рис. 2.8), прямую (2.4) можно перемещать параллельно самой себе вверх до пересечения с точкой D (312,5; 300), т.е. правую часть ограничения (2.4) можно уменьшить до величины

312,5-300=12,5 кг.

 

Рис.2.8 Расчет пределов изменения спроса на сливочное мороженое

Таким образом, при неизменном оптимальном решении разница в покупательском спросе между сливочным и шоколадным мороженым может изменяться в диапазоне от 12,5 кг до 350 кг.

Аналогично, не изменяя оптимального решения (рис.2.9), прямую (2.5) можно перемещать параллельно самой себе вниз до пересечения с прямой (2.3) в точке D(312,5; 300).

 

Рис.2.9 Расчет пределов изменения спроса на шоколадное мороженое

Таким образом, при неизменном оптимальном решении покупательский спрос на шоколадное мороженое может изменяться до 300кг. Проведем анализ задачи по пределам возможного изменения коэффициентов целевой функции, т.е. по диапазону цен на мороженое, при котором не происходит изменения оптимального решения.

Изменение коэффициентов целевой функции оказывает влияние на наклон линии уровня. Уравнение линии уровня записывается в общем виде:

c₁x₁+c₂ x₂ = Const.

Из рис. (2.10) видно, что при увеличении c₁ или уменьшении c₂ линия уровня вращается вокруг точки D по часовой стрелке.

 

Рис.2.10

Если по условию задачи c₂ = 14, то c₁ можно увеличивать до совпадения линии уровня с прямой 2.3. Угловой коэффициент линии уровня:

K =c₁/c₂ =c₁/14.

Угловой коэффициент прямой 2.3:

K ₍₁₎ =8/5.

Так как прямые совпадают, K=K ₍₁₎, то c _{(1) max}=22,4.

 

Рис. 2.11

Коэффициент c ₍₁₎ можно уменьшать до совпадения линии уровня с прямой (2.2), поэтому

c ₍₁₎/14=1/2, c _{(1) min}=7 , (рис. 2.12).

 

Рис. 2.12

Таким образом, оптимальное решение задачи не изменится, если отпускная цена 1 кг сливочного мороженого лежит в диапазоне от 7 руб. до 22,4 руб.; при этом доход фирмы будет от 6387,5 руб. до 11200.

Аналогичные рассуждения для случая c _(1.)=16 позволили сделать вывод, что оптимальное решение задачи не изменится, если цена 1 кг шоколадного мороженого лежит в диапазоне от 10 ден.ед. до 32 ден.ед.; при этом доход фирмы будет от 8000 руб. до 14600 руб.