Линейная замена переменной.

Теорема.Если то

Доказательство. Пусть ax+b=t (замена переменной)

dt=(ax+b)`dx dt=adx, dx= Тогда

 

 

Примеры.

 

1. (Здесь вместо х стоит 2х a=2, b=0)

 

2. a=5, b=3

 

3. a=7, b=-8

 

4. a=1/3, b=0

 

5. a=2, b=-a

 

6. a=a, b=0

 

7.

 

8.

=

 

Расширим таблицу интегралов используя примеры 5-8.

 

1.

2.

 

3.

 

4.

 

5. ; a¹0- проверить по определению неопределённого интеграла.

 

Метод интегрирования по частям.

формула интегрирования по частям.

 

Примеры.

1.

 

=

 

2.

 

=

 

4. =

= -второй интеграл опять вычисляем по частям= =

= -

=-

 

=e^-2x.

 

Интегрирование методом замены переменной при наличии производной.

1.

2.

3. ½lnx=t; dt=½=

4.

5.

=1/3t²+c=1/3arctg²3x+c.

6. ½t=5x⁴-7;dt=20x³dx; x³dx=½= =

 

 

Интегрирование выражений, содержащих квадратный трёхчлен Ax²+Bx+C.

 

1. ½x²+6x-3=(x²+6x+9)-9-3=(x+3)²-12- выделение полного квадрата½=

 

=½комбинируем теорему о линейной замене (вместо х стоит х+3, a=1, b=3)

 

с дополнительной таблицей 5.(a²=12, a=.½=

2.

=(применим дополнительную таблицу 2)

=

 

3. ½найдём производную от знаменателя (х²-6х+3)`=2x-6.

 

преобразуем числитель так чтобы в нём появилась производная от знаменателя.

 

5х+1=5(х+

=

Вычислим отдельно первый интеграл

½x²-6x+3=t; dt=(2x-6)dx½=

Вычислим второй интеграл как в примерах 1 и 2.

=80тогда получаем

4. ½(х²-3х+22/5)`=2x-3; 3x+2=3(x+2/3)=

=½=.
½x²-3x+22/5=t; dt=(2x-3)dx½=

=

 

=( дополнительная таблица формула 5)=

= Итак получаем

 

 

Определённый интеграл.

Определение. Определённым интегралом от функции f(x) на отрезке [a,b], азовём число, равное F(b)-F(a), где F(x)-первообразная для f(x) на отрезке [a,b].

 

Примеры.

1.

2.

3. ½x²=t, dt=2xdx; x=0Þ t=0 xdx=; x=½=

=

4. ½x=u du=dx, cosxdx=dv v=½=

 

=

 

Вычисление площади криволинейной фигуры.

 

Пусть у=f₁(x) и y=f₂(x) непрерывные на [a,b] функции, f₂(x)³f₁(x) на [a,b], тогда площадь фигуры ограниченная линиями x=a, x=b, y=f₂(x), y=f₁(x) вычисляется по формуле

 

y

y=f₂(x)

 

 

a b x

 

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у=, у=х², х=0, х=1.

 

y=x² S=

 

y= =

 

Несобственные интегралы.

Определение. Интеграл вида или называется несобственным.

По определению

 

Примеры.

 

1.

2. - не существует,

следовательно данный интеграл расходится.

 

3. ½lnx=t; dt=; x=1 ln1=0Þt=0; x=b lnb=t½=

b®+¥

 

=.

Следовательно, данный интеграл расходится.