VI. Основы теории моделирования

1. Основные понятия и определения:

Модель – упрощенный аналог явлений, процессов, предметов и объектов, сохраняющий их существенные свойства, служащие предметом их изучения.

Моделирование – исследование каких-либо явлений, процессов, предметов или объектов путем построения их модели. На идее моделирования базируется любой метод научного исследования, как теоретический, при котором используются формализмы, концепты или абстрактные модели, так и опытно экспериментальный, при котором используются материальные модели.

Формализация – это процесс построения субъектом исследования абстрактной формы представления (формальной модели) объекта исследования. Здесь найденная модель выступает как результат научного исследования в задачах управления, системного анализа и т.д.

Физическое моделирование – это построение субъектом исследования гносеологического образа объекта исследования с целью решения каких-либо научных задач в терминах физики. По аналогии определяются химическое, биологическое, психологическое, геологическое и т.п. моделирование.

Математическое моделирование – это построение субъектом исследования гносеологического образа объекта исследования с целью решения каких-либо научных задач в терминах математики. Математическое моделирование осуществляется с помощью интерпретации абстрактного образа объекта исследования в конкретную область его свойств.

Интерпретация в математическом моделировании - есть информационный процесс преобразования абстрактного математического объекта (АМО) в конкретную математическую модель (ММ) конкретного объекта на основе отображения непустого множества данных и знаний, определяющего АМО, и, называемого областью интерпретации, в информационное пространство данных и знаний, определяемое объектом моделирования, и, называемое предметной областью значений свойств объекта исследования.

Интерпретация – наделение компонентов предмета, объекта, процесса, явления свойствами, выбранными с точки зрения исследователя.

Конкретизация – выбор математической модели объекта исследования

Математическая модель - это формальная система, представляющая собой конечное собрание символов и строгих правил оперирования этими символами в совокупности с интерпретацией свойств исследуемого объекта некоторыми отношениями, символами, константами.

 

3. Виды моделей.

3.1. Модели бывают точными, приближенными, полными, физическими, аналоговыми, структурными, функциональными, математическими, динамическими, статическими, вероятностными, логическими, статистическими и т.д. Единой (общепризнанной) системы классификации моделей не существует. Обычно ее осуществляют по ряду признаков классификации, некоторые из которых, рассмотрены ниже.

3.2. В зависимости от выбранного метода решения любая научная задача может быть сформулирована (конкретизирована) как:

- дискретная или непрерывная и одновременно как:

- четкая, нечеткая или стохастическая (всего 6 комбинаций, см. рис.7).

 

Рис.7. Типы математических моделей научно-исследовательских задач

 

4. Классификация моделей.

4.1. По способу формализации объекта исследования выделяют модели:

- множества свойств элементов, их взаимосвязей и взаимодействий;

- отношений между свойствами объекта исследования;

- множеств типов свойств объекта исследования.

4.2. По способу построения различают следующие виды моделей:

- материальные (натурные, аналоговые, действующие);

- формальные или абстрактные (вербальные, концептуальные, математические, проектные).

4.3. По способу представления результатов моделирования различают:

-.аналитические;

- алгоритмические;

- имитационные.

 

5. Источники создания моделей.

Источниками формальных (абстрактных) моделей являются:

- реальные объекты – оригиналы;

- научно-исследовательские задачи.

 

6. Свойства формальных (абстрактных) моделей.

- детерминированность, стохастичность, размытость;

- дискретность, непрерывность;

- дуальность (результат или средство исследования);

- адекватность, изоморфность, гомоморфность;

- гипостазийность (подмена объекта исследования его моделью).

- чувствительность;

- эквивалентность (симметричность, рефлективность, транзитивность).

- толерантность; (эквивалентность без транзитивности);

 

7. Структура формальных (абстрактных) моделей:

- формальные модели всегда содержат левую и правую части, разделенные некоторым оператором или символом отношения;

- в левой части содержатся искомые параметры или тип модели;

- в правой части содержатся преднайденные данные (параметры модели, ограничения и граничные условия их существования).

 

8. Функции формальных (абстрактных) моделей.

8.1. Установление функциональных, структурных, временных, численных зависимостей параметров искомых свойств исследуемой системы от ее преднайденных или заданных свойств.

8.2. Формальные модели являются первоосновой построения алгоритма управления объектом или получения численных результатов его исследования.

 

9. Синтез формальных моделей.

Построение формальных моделей обязательно предусматривает:

- выбор способа формализации компонентов объекта исследования;

- выдвижение гипотезы существования той или иной зависимости свойств компонентов исследуемого объекта;

- математическое моделирование исследуемых зависимостей свойств процессов или элементов объекта исследования;

- выбор способа подтверждения адекватности, эквивалентности, толерантности модели объекту – оригиналу и проверка точности и чувствительности (количественных оценок) модели.

 

10. Основы формализации исследуемых техногенных объектов

10.1. Основой формализации техногенных (в рамках второй природы) объектов и процессов являются концепции предметов исследования.

10.2. Для представления вербальных моделей (концепций) исследуемых объектов или процессов используются только текст, таблицы и рисунки. При этом математическая символика и графы не используется.

10.3. Математической основой формализации техногенных объектов или процессов являются теории множеств, графов, отношений и пространств. При этом основой построения формальных или абстрактных моделей являются концепты, формализмы, концептуальные модели.

10.4. Для построения формализмов, концептов и концептуальных моделей необходима некоторая символика в терминах теории множеств, графов или отношений, а также графика: блок-схемы, схемы, диаграммы, номограммы и т. д.

10.5. Концептуальные модели техногенных объектов никогда не бывают параметрическими, т.к. призваны устанавливать только качественные (нечисленные) связи и взаимодействия между элементами или процессами в конкретных областях исследования при определенных условиях. В этой связи концептуальные модели могут быть:

- моноформными (механическими, кинематическими, электрическими, экономическими, информационными и т.д.);

- иерархическими или аморфными;

- структурными или функциональными;

- балансово-ресурсными или балансово-временными.

10.6. В концептуальных моделях в качестве операторов отображения могут использоваться операторы:

- математической логики;

- исчисления высказываний;

- теории множеств;

- теории графов;

- теории отношений;

- исчисления предикатов, и т.д.

10.7. Для построения математических моделей исследуемых объектов нужна символика метрических или нормированных пространств. Математические модели устанавливают детерминированные, вероятностные или нечеткие отношения между искомыми и заданными параметрами свойств исследуемых объектов при заданных граничных условиях и ограничениях. В этой связи математические модели могут быть:

- моноформными (механическими, кинематическими, электрическими, экономическими, информационными и т.д.);

- полиформными (экономико-математическими, информационно-математическими, физико-математическими и т.д.)

- статическими или динамическими;

- балансово-ресурсными или балансово-временными.

10.8. Математические модели бывают только параметрическими, т.к. устанавливают количественные отношения между искомыми и заданными параметрами свойств объектов исследования в условия их существования. Для построения математических моделей используются:

- арифметические знаки >,<,=,≠;

- аналитические формулы известных законов;

- системы алгебраических уравнений и/или неравенств;

- дифференциально-интегральные уравнения;

- разностные уравнения;

- отображения, преобразования, шкалы;

- целевые функции или функционалы;

- передаточные или переходные функции;

- графы, сети;

- матрицы, таблицы;

- тензоры, и т.п.