Закон сохранения момента импульса.

 

Рассмотрим систему, состоящую из N взаимодействующих между собой материальных точек, вращающихся вокруг какой либо оси. Запишем для каждой м.т. основное уравнение динамики вращательного движения (1.47), выделяя отдельно моменты внешних и внутренних сил.

(1.54)

где i – номер м.т. (i = 1,…,N)

Просуммируем уравнения (1.54) по всем м.т. системы, введем момент импульса системы и учтем что согласно третьему закону Ньютона векторная сумма моментов внутренних сил, действующих на м.т., относительно оси вращения, равна нулю

,

Тогда (1.54) перепишется так

(1.55)

Из формулы (1.55) следует закон сохранения момента импульса, согласно которому момент импульса замкнутой системы остается постоянным относительно любой оси вращения

, , (1.56)

или используя формулу (1.42)

, (1.57)

где I_i , ω_i– момент инерции и угловая скорость вращения – той м.т. системы.

При вращательном движении, как и при поступательном общая масса тел замкнутой системы остается постоянной, но при вращательном движении внутренние силы могут изменить распределение массы относительно оси вращения, т.е. моменты инерции тел системы. Это при неизменном моменте импульса замкнутой системы приводит к изменению угловой скорости вращения входящих в нее тел.

Приведем ряд примеров, подтверждающих это явление. Учтем, что во всех этих примерах моменты внешних сил (силы тяжести, реакции опоры) относительно вертикальной оси вращения равны нулю и поэтому момент импульса системы остается постоянным.

Пример 1. При переходе человека (м.т.) массы m₁ в центр платформы (однородный диск радиуса R) массы m₂ угловая скорость вращения платформы увеличивается (рис. 1.19 а, б).

 

Рис.1.19.

: ,,

 

Пример 2. При вращении фигуристки изменение положения ее рук приводит к изменению момента инерции фигуристки относительно вертикальной оси

вращения и соответственно к изменению угловой скорости ее вращения

:

Если фигуристка прижимает руки к телу, то тем самым она уменьшает свой момент инерции (I₂<I₁) и увеличивает угловую скорость вращения:

 

ω₂ = ω ₁(I₁/I₂)> ω₁

Пример 3. Скамья Жуковского. Человек стоит на скамье (их общий момент инерции относительно оси вращения равен I₁) и держит в руках колесо (его момент инерции I₂), способное вращаться вокруг вертикальной оси, совпадающей с осью вращения скамьи (рис. 1.20). Человек приводит во вращение колесо с угловой скоростью ω₂. Тогда он со скамьей начнет вращаться в противоположную сторону с угловой скоростью ω₁

, ,

 

В этом опыте моменты инерции тел системы не изменяются, но внутренние силы совершают работу по изменению угловой скорости вращения входящих в систему тел.