Математическое описание векторных полей.

6.1. Линии вектора . Однородные и неоднородные поля. Пусть в пространстве существует поле вектора , т.е. в каждой точке пространства задан вектор . Это может быть поле вектора скорости течение жидкости, вектора напряженности электростатического поля, вектора напряженности вихревого электрического поля, вектора магнитной индукции магнитного поля и т.д.

Для описания векторного поля вводят понятие линий вектора - они проводятся так, чтобы в каждой точке линии вектор был направлен по касательной к ним (рис. 4а). Они нигде не пересекаются, их проводят так, чтобы густота линии в данной точке поля (число линий , пронизывающих единичную площадку, перпендикулярную к линиям , в каждой точке поля равнялась модулю ).

В общем случае векторное поле является неоднородным – направление и модуль изменяются. Для однородного поля в каждой его точке вектородинаков (= const). Линии такого поля это параллельные прямые, соседние линии отстоят на одинаковом расстоянии друг от друга (рис. 4б.)

6.2 Циркуляция и поток вектора . Возьмем в неоднородном поле воображаемый замкнутый контур (Г), укажем произвольно направление его обхода и введем вектор , равный по модулю элементарной длине контура. В каждой точке вектор совпадает с касательной к контуру и направлен по обходу контура (рис. 5а).

Тогда циркуляцией вектора по произвольному замкнутому контуру (Г) называют интеграл следующего вида

, (11)

Можно утверждать, что если для поля вектора циркуляция по произвольному замкнутому контуру (Г) равна нулю, то это поле является потенциальным (например, поле силы тяжести , электростатическое поле вектора и т.д.)

(12)

Поэтому формула (12) является признаком потенциальности векторного поля. Если же циркуляция по произвольному замкнутому контуру (Г) отлична от нуля, то поле вектора не является потенциальным, его называют вихревым полем.

Введем понятие потока. Возьмем в неоднородном поле вектора произвольную поверхность , выделим на ней элементарную площадку и введем вектор , направленный вдоль вектора нормали к площадке (рис. 5б). Модуль равен площади элементарной площадки.

Тогда элементарным потоком вектора через площадку называют величину

, (13)

Суммируя потоки через все площадки поверхности , найдем поток вектора через поверхность

(14)

Если учесть, что густота линий определяет модуль вектора в данной точке поля, то тогда поток вектора численно равен количеству линий , пронизывающих поверхность .

На рис. 6 приведен ряд примеров расчета потока вектора через различные поверхности S(а, б, в – плоская поверхность, г – замкнутая поверхность)

Однородное поле

Поток вектора через замкнутую поверхность (рис. 6.г) равен нулю, так как количество линий, входящих ()и выходящих () из поверхности, одинаково, но они берутся с противоположными знаками из за косинуса угла α.

Названия циркуляция и поток вектора было заимствовано из гидростатики, где рассматривается векторное поле скорости течения жидкости. Так, отличие от нуля циркуляции по взятому внутри жидкости замкнутому контуру означает, что жидкость будет двигаться (циркулировать) вдоль него. Отличие же от нуля потока через какую-либо поверхность, взятую внутри жидкости, означает, что существует поток жидкости через нее, т.е. линии пересекают эту поверхность.

6.3 Источники векторных полей. Оказывается, что введенные выше понятия потока и циркуляции векторасвязаны с наличием в пространстве двух источников этого поля.

Точечный источник векторного поля первого типа – это источник, в котором начинаются или заканчиваются линии. Так, например, в случае электростатического поля такими источниками являются точечные положительные и отрицательные заряды (рис. 7а.): в случае поля вектора скорости жидкостиэто точки, где жидкость втекает или уходит из данного объема (рис. 7б.)

Если взять произвольную замкнутую поверхность, охватывающую такие источники, то тогда поток вектора через нее будет в общем случае отличен от нуля и он будет характеризовать наличие источников в объеме V, ограниченном этой поверхностью.

, (15)

где введена объемная плотность ρ источников первого типа.

Для поля вектора, где имеются только такие источники, циркуляция по произвольному замкнутому контуру (Г) будет равна нулю, т.е. такое поле будет потенциальным.

Точечный источник поля вектора второго типа создает вокруг себя вихрь, который приводит к возникновению замкнутых линий . Это могут быть линии магнитного поля, линии вихревого электрического поля, линии скорости течения жидкости. В случае жидкости точечный источник второго типа можно получить, если в данную точку поместить вертушку, которая будет вызывать вращение жидкости вокруг этой точки..

Если взять произвольный замкнутый контур (Г), то наличие в его плоскости вихрей приведет к тому, что циркуляция по этому контуру будет отличной от нуля, т.е. она будет характеризовать наличие вихрей в плоскости контура.

, (16)

где введен вектор, описывающий поверхностную плотность источников второго типа в плоскости контура.

Для поля только с источником второго типа поток вектора через произвольную поверхность будет равен нулю, так как при замкнутых линиях вектора количество линий, входящих и выходящих из такой поверхности будет одинаково.

Обычно существуют векторные поля, в которых имеется только один из двух источников. Можно привести пример поля, в котором присутствуют одновременно оба источника – это поле скорости течения жидкости, в котором в какой-то одной точке она вливается в данный объем жидкости и в ней же находится вертушка.

6.4 Дивергенция и ротор вектора .Для решения большинства практических задач необходимо применять математический аппарат, позволяющий учитывать наличие источников векторных полей не только в большом объеме пространства, но и в малой окрестности какой-либо точки. Для этого вводятся понятия дивергенции () и ротора ( ) вектора . Возьмем объем Vполя, ограниченного замкнутой поверхностью S, и будет стягивать поверхность в малую окрестность точки А (рис. 8а).

Тогда дивергенцией вектора называют предел

(17)

Дивергенция (или расхождение) характеризует наличие источников первого типа в малой окрестности точки А.

(18)

В математике для можно записать следующее выражение

(19)

Введем понятие ротора вектора . Возьмем замкнутый контур (r), ограничивающий поверхность S, и будет стягивать контур в малую окрестность точки А (рис. 8б). Тогда ротором вектора называют предел

 

(20)

Ротор (вихрь) характеризует наличие источников второго типа в малой окрестности точки А. С учетом формулы (16) и постоянства в малой окрестности точки А, получим

(21)

В математике для можно записать следующее выражение

(22)