Используемые при изложении курса физики.

1. Графический смысл производной от функции y(x) по аргументу x и интеграла от y(x) в пределах значений аргумента от x₁ до x₂.

Для определения производной функции y по аргументу x при каком-либо значении x = х₀ необходимо взять конечные приращения аргумента x

(Δx = x₁ - x₂) и функции у (Δу = у₁ - у₂) и затем устремить Δx к нулю, т.е. взять бесконечно малые приращения dх и dу (их также называют элементарными приращениями). Тогда производная у ' будет равна

(1)

и графически у ' представляет собой тангенс угла наклона касательной к графику функции в данной точке (рис.1а)

 

 

Графически интеграл от функции у в пределах значений аргумента от х₁ до х₂ представляет собой площадь под графиком функции в пределах от х₁ до х₂ (рис. 1.б.). Для ее расчета разбивают интервал (х₁, х₂) на малые участки Δx_i(i=1,…,N), определяют площади прямоугольных полосок (у_iΔх_i) и затем их суммируют..

Точное значение площади под графиком функции получают при стремлении N→ ∞, Δx_i→ dx и бесконечная сумма бесконечно малых величин (ydx) обозначается в виде интеграла

(2)

Так, в частности, для прямолинейной зависимости у = bx интеграл будет равен площади трапеции (рис. 1.в.) и поэтому

Приведем необходимые для дальнейшего изложения материала ряд формул табличных интегралов

, (3)

, (4)

, (5)

, (6)

 

2. Скалярное произведение двух векторов и . Это скалярная величина, равная произведению модулей векторов и , умноженного на косинус угла α между ними

() = () = abcosα = b_aa ,

где в формулу введена проекция вектора на направление вектора

(b_a = bcosα, рис. 2а.).

 

Скалярное произведение произвольного вектора на его вектор элементарного приращения d можно записать в следующем виде (рис. 2б.)

d=,

где dc – элементарное приращение модуля вектора , оно может принимать как положительные, отрицательные, так и нулевые значения. В частности, это относится к элементарным приращениям модулей радиус-вектора (dr), линейной скорости(dv), угловой скорости (dω), и т.д. Для вектора же элементарного углового перемещения по определению dφ всегда больше нуля.

3. Векторное произведение векторов и . Это вектор, равный по модулю произведению модулей векторов и на синус угла α между ними (рис. 2в.).

=[´] , с = ав cosα , α = (,)

Вектор перпендикулярен плоскости вектора и, его направление можно найти по трем эквивалентным правилам: 1) правило правого буравчика. – вращательное движение буравчика должно совпадать с направлением кратчайшего поворота от к , тогда его поступательное движение дает направление ; 2) правило левой руки: – четыре пальца нужно расположить по направлению вектора , вектор должен входить в ладонь, тогда отогнутый на 90⁰ большой палец покажет направление ; 3) правило векторного произведения: если смотреть с конца вектора на плоскость векторов и , то тогда кратчайший поворот от к будет направлен против часовой стрелки.

4. Двойное векторное произведение векторов ,и раскрывается следующим образом

[[´]=()-() (7)

 

5. Градиент скалярной величины . Пусть в пространстве каким-либо образом распределена скалярная величина (существует поле скалярной величины а) – это может быть поле температуры (= T), плотности вещества (= ρ), потенциальной энергии (= W_р) и т.д. Такое поле можно охарактеризовать максимальным и минимальным значением , средним значением , а также градиентом . Под градиентом скалярной величины понимают вектор, который в каждой точке пространства направлен в сторону наиболее быстрого возрастания и численно равный приращению величины на единицу длины этого направления

, , (8)

где - направление gradв данной точке пространства; вектора , , - вектора единичной длины (||=||=||), указывающие направления осей Oх, Oу, и Oz в пространстве (рис. 3.). Они позволяют представить произвольный вектор

в виде суммы его проекции на оси (рис.3)

=++ (9)

При вычислении производной величины по координате x в формуле (8) считается, что координаты y и z остаются постоянными – такая производная называется частной производной по координате x

 

 

Аналогичные предположения принимаются при расчете частных производных по координатам y и z.

Выражение (8) можно записать в более компактном виде, если ввести оператор Гамильтона или оператор Набла

(10)

Действие этого оператора на скалярную величину приводит к выражению (8), т.е. grad=.