Свойства аксиоматических теорий

Первый вопрос, который возникает, когда рассматривается та или иная аксиоматическая теория, - это вопрос о непротиворечивости, и полноте аксиоматической теории.

Непротиворечивость является важнейшим требованием, предъявляемым к аксиоматическим теориям.

Пословицы противоречат одна другой. В этом собственно и заключается народная
мудрость.
С.Е. Лец

Определение 5.1. Аксиоматическая теория T называется непротиворечивой, если для любого утверждения A, сформулированного в терминах этой теории, либо само утверждение A, либо его отрицание недоказуемо в этой теории T. Если для некоторого утверждения A теории T оба утверждения A и доказуемы в T, то аксиоматическая теория называется противоречивой.

Противоречивые модели математику не интересуют, поскольку в них чисто логическим путем можно доказать все, что угодно.

Когда однажды на обеде известный английский математик Дж. Харди сделал подобное замечание, кто-то из присутствующих потребовал обосновать его, доказав, например, из предположения 2 + 2 = 5, что некто Икс – папа римский. Харди ненадолго задумался и ответил: «Мы знаем также, что 2 + 2 = 4, значит 5 = 4. Вычитая 3, получаем 2 = 1. Икс и папа римский - это два человека, следовательно, господин Икс и папа римский – это один человек».

Таким образом, проблема установления непротиворечивости аксиоматической теории приобретает первостепенную важность. Для неформальных аксиоматических теорий вопрос этот во многих случаях удается решить с помощью понятия модели. В самом деле, если теория противоречива, то каждая ее модель содержит противоречие, потому что пара противоречащих друг другу теорем теории (A и ) переводятся в два противоречащих друг другу высказывания о модели. Значит, теория непротиворечива, если для нее удается указать модель, свободную от противоречий.

Например, четырехэлементное множество X = {a, b, c, d} вместе с определенным на нем с помощью графа (рис. 5.1) бинарным отношением a является, как можно убедиться самостоятельно, моделью теории эквивалентности. Поэтому с полной уверенностью можно утверждать, что аксиоматическая теория эквивалентности непротиворечива.

Рис. 5.1. Модель теории эквивалентности

Для теории эквивалентности удалось построить конечную модель и тем самым решить вопрос о ее непротиворечивости. Но так бывает далеко не всегда. Может случиться, что аксиоматическая теория имеет только бесконечные модели. Тогда обоснование непротиворечивости теории сводится к доказательству отсутствия противоречий в модели, то есть по сути дела к доказательству непротиворечивости той аксиоматической теории, в терминах которой построена рассматриваемая модель. В этом случае доказательство непротиворечивости исходной теории приобретает относительную ценность: исходная теория непротиворечива, если непротиворечива теория, в терминах которой построена ее модель.

Именно такова ситуация с евклидовой геометрией. Непротиворечивость евклидовой геометрии никогда не была доказана, хотя почти все «уверены» в ее непротиворечивости. Доказательство ее относительной непротиворечивости может быть получено с помощью интерпретации, при которой точки интерпретируются посредством упорядоченных пар действительных чисел (x, y); а прямые – уравнениями первой степени ax + by + c = 0. Наличие модели построенной с помощью системы действительных чисел доказывает относительную непротиворечивость евклидовой геометрии: она непротиворечива, если непротиворечива теория действительных чисел. Но непротиворечивость теория действительных чисел также до сих пор не доказана. Путем построения соответствующих моделей вопрос о непротиворечивости теории действительных чисел может быть сведен к вопросу о непротиворечивости теории натуральных чисел или, как говорят к непротиворечивости арифметики.

В настоящее время непротиворечивость многих областей классической математики сведена к непротиворечивости арифметики. Тем не менее, «абсолютная» непротиворечивость ни евклидовой геометрии, ни теории действительных чисел, ни арифметики натуральных чисел не установлена. Уверенность в непротиворечивости этих теорий дает практика. Каждая из них позволяет делать выводы об окружающей материальной действительности, хорошо согласующиеся с нашим опытом. В этой адекватности отражения материального мира, в практической применимости и значимости указанных теорий и заключается главный критерий их непротиворечивости.