Несмещенные, эффективные и состоятельные оценки параметров распределения

Для того, чтобы статистические оценки давали хорошее приближение оцениваемых параметров, они должны быть несмещенные, эффективные и состоятельные.

Несмещеннойназывается статистическая оценка параметра , математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки.

Смещеннойназывается статистическая оценка параметра, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру.

Эффективнойназывается статистическая оценка параметра, которая при заданном объеме выборки имеет наименьшую дисперсию.

Состоятельнойназывается статистическая оценка параметра, которая при стремится по вероятности к оцениваемому параметру.

т.е.для любого .

Для выборок различного объема получаются различные значения среднего арифметического и статистической дисперсии. Поэтому среднее арифметическое и статистическая дисперсия являются случайными величинами, для которых существуют математическое ожидание и дисперсия.

Вычислим математическое ожидание среднего арифметического и дисперсии. Обозначим через математическое ожидание случайной величины

.(1)

Здесь в качестве случайных величин рассматриваются: – С.В., значения которой равны первым значениям, полученным для различных выборок объема из генеральной совокупности, –С.В., значения которой равны вторым значениям, полученным для различных выборок объема из генеральной совокупности, …, – С.В., значения которой равны -м значениям, полученным для различных выборок объема из генеральной совокупности. Все эти случайные величины распределены по одному и тому же закону и имеют одно и то же математическое ожидание.

.

Из формулы (1) следует, что среднее арифметическое является несмещенной оценкой математического ожидания, так как математическое ожидание среднего арифметического равно математическому ожиданию случайной величины. Эта оценка является также состоятельной. Эффективность данной оценки зависит от вида распределения случайной величины . Если, например, распределена нормально, оценка математического ожидания с помощью среднего арифметического будет эффективной.

Найдем теперь статистическую оценку дисперсии.

Выражение для статистической дисперсии можно преобразовать следующим образом

(2)

Найдем теперь математическое ожидание статистической дисперсии

. (3)

Учитывая, что (4)

, (5)

получим из (3)-

(6)

Из формулы (6) видно, что математическое ожидание статистической дисперсии отличается множителем от дисперсии, т.е. является смещенной оценкой дисперсии генеральной совокупности. Это связано с тем, что вместо истинного значения , которое неизвестно, в оценке дисперсии используется статистическое среднее .

Поэтому введем исправленную статистическую дисперсию

(7)

Тогда математическое ожидание исправленной статистической дисперсии равно

, (8)

т.е. исправленная статистическая дисперсия является несмещенной оценкой дисперсии генеральной совокупности. Полученная оценка является также состоятельной.