Критерий согласия Пирсона

Вероятность ошибки первого рода, т.е. , называют уровнем значимости критерия . Если — вероятность ошибки второго рода, то величину =называют мощностью критерия .

Если проверяемая гипотеза верна, то . Если известен закон распределения критерия, то точка находится из условия , где – заданный уровень значимости, т.е. для нахождения критической точки задаются уровнем значимости и требуют, чтобы при условии справедливости нулевой гипотезы вероятность того, что критерий примет значение большее была равна . .

Существуют подробные таблицы вероятности при заданном . При практическом использовании критерия по заданному уровню значимости и числу степеней свободы из таблицы находят и сравнивают это значение с . Если , то нулевую гипотезу принимают, если же , то нулевую гипотезу отвергают.

Наблюдаемое значение критерия может оказаться большим не потому, что нулевая гипотеза ложна, а по другим причинам, например, вследствие малого объема выборки. В этом случае, отвергнув правильную нулевую гипотезу, совершают ошибку первого рода.

Иногда область принятия гипотезы о законе распределения ограничивают с двух сторон , где находят из условия . Тогда гипотеза о виде распределения случайной величины принимается при .

Критерий Пирсона применяется для проверки правдоподобия гипотез любых законов распределения. С помощью критерия Пирсона нельзя доказать, что рассматриваемая гипотеза действительно справедлива, критерий указывает лишь на то, что гипотеза не противоречит опытным данным.

Схема применения критерия для проверки гипотезы :

1. Для заданной выборки строят вариационный ряд– группированный статистический ряд.

2. Определяется мера расхождения эмпирических и теоретических частот по формуле .

3. Для уровня значимости по таблице распределения находят критическое значение , где – число степеней свободы (– число интервалов, – число параметров распределения случайной величины).

4. По той же таблице находят .

5. Если или , то нулевая гипотеза отвергается. Если же , то считают, что гипотеза не противоречит экспериментальным данным.

Критерий Пирсона дает удовлетворительные результаты, если объем выборки велик (и частоты (эмпирические и теоретические) имеют значения не меньше, чем 5. Если для некоторых из интервалов , то следует объединить соседние интервалы. Отметим, что в двух крайних интервалах допускается значение .

Критерий согласия Колмогорова или критерий

В качестве меры расхождения теоретического и экспериментального распределений в критерии Колмогорова рассматривается величина , где

– накопленные теоретические частоты,

– накопленные экспериментальные частоты,

Т–объем выборки.

Колмогоров нашел, что при

Существуют подробные таблицы , из которых по заданному определяют .

Если , то нулевую гипотезу принимают.

Если , то нулевую гипотезу отвергают.

Критерий Колмогорова часто дает несколько завышенные оценки правдоподобности гипотезы. В некоторых случаях можно принять за правдоподобную гипотезу, плохо согласующуюся с опытными данными.