Авторегрессионные модели прогнозирования

Если проверка по критерию Дарбина-Ватсона (77) показывает наличие связей погрешностей соседних точек обучающей выборки, то для прогнозирования показателя y можно попытаться получать для прогнозирования авторегрессионные модели вида

, (84)

где .

Оценка коэффициентов авторегрессионной модели (84) выполняется аналогично оценке коэффициентов обычной регрессионной модели, которая была рассмотрена в предыдущих параграфах. Однако построение авторегрессионной модели вида (84) имеет некоторые особенности в части формирования выборочной статистической совокупности.

Как указывалось выше, для оценки вектора коэффициентов модели необходимо составить вектор выборочных значений прогнозируемого показателя по наблюдениям и матрицу Х соответствующих выборочных значений параметров. Из формулы (84) следует, что в авторегрессионных моделях строка i матрицы параметров Х содержит n ближайших предшествующих значений самого моделируемого показателя .

Таким образом, если размер выборочной совокупности, по которой оцениваются коэффициенты авторегрессионной модели, равен N, то необходимо наличие выборочной совокупности большего размера . Это обстоятельство объясняется тем, что первым n выборочным значениям показателя соответствуют пустые или неполностью заполненные строки матрицы параметров Х.

На рис. 21 показана выборочная статистическая совокупность наблюдений, составленная из значений прогнозируемого показателя . Если теперь сформировать вектор и матрицу параметров Х для оценки коэффициентов модели (84) , , , ... , , то явно видна неполная заполненность матрицы Х для первых n наблюдений.

В качестве примера можно рассмотреть формирование авторегрессионной модели вида .

Пусть для оценки коэффициентов , и используется выборка размера , число членов модели без свободного члена . При этих условиях необходим общий размер выборочной совокупности :

После формирования выборочных совокупностей показателя и матрицы Х выполняются все этапы моделирования, изложенные в разд. 9.1. Единственным отличием является прогнозирование по авторегрессионной модели.

Прогнозирование по авторегрессионной модели производится только по шагам от года к году, т. к. в модели приходится использовать значение показателя на предыдущем временном интервале:

1-й шаг прогноза: ,

2-й шаг прогноза: , (86)

m-й шаг прогноза: .

Как видно из (86) при прогнозировании на первый год используются выборочные значения , , ... , ; при прогнозировании на последующие годы используются прогнозные значения за предыдущие годы.