Идейные предпосылки возникновения интуиционистской логики. Особенности трактовки понятия истины в интуиционизме.

Были обнаружены парадоксы в теории множеств Кантора(наивной теории множеств). Парадокс Рассела:Нормальные множества не явл. элементами самих себя(мн-во столов и т.д). Ненормальные – явл. элементом самого себя. N – мн-во всех множеств. N – нормальное или нет?

1.пусть N – нормальное мн-во

2. NN(мн-во нормальных множеств по опр. из 1)

3. N – ненормальное. – из2

4.

Пояснение:NN – значит N является элементом самого себя N – ненормальное.

Получили противоречие.

1.пусть N – ненормальное мн-во

2. NN – из 1.

3 N – нормальное – из 2.

4

Обнаружение парадокса привело к кризису в математике. Для преодоления кризиса в начале 20 века было выдвинуто несколько программ: формализм, логицизм, интуиционизм. Формализм – Гильберт и его школа.

1)Не ставили под сомнение принципы, лежащие в основе классической логики, правомерность ее законов и правил

2)Отвергалась идея актуальной бесконечности. Бесконечные мн-ва рассматривались по аналогии с конечными. Это означало, что процедуры оперирования конечными и бесконечными множествами подчиняются одним и тем же законам. Через некоторое время получены теоремы Гёделя о неполноте – теория противоречивая. Логицизм(Рассел, Уайтхед) – программа состояла в создании формализованных языков, богатые выразительные возможности которых позволяли строить непротиворечивые лог. сис-мы. Созданы исчисления предикатов высших порядков и теория типов. Программа интуиционизма, первые идеи высказаны Брауэром(1907). Некоторые законы классической логики неправомерны в математических доказательствах.

1)Матем. – это порождение разума.

2)математическая истинность постигается с помощью особых ментальных конструкций(док-во)

3)в восприятии человека заложено восприятие объектов во времени(настоящее можно отделить от прошлого). Понимание чисел складывается из анализа восприятия. Можно делить моменты времени.

4)есть утверждения, которые нельзя доказать или опровергнуть.Например: ├ A˅¬А –нет док-ва и опровержения априори. Док-во утверждений αА часто не позволяют получить информацию о том, какой именно объект удовлетворяет условию А. Чтобы это док-ть либо предъявляют объект, либо указывают процедуру построения объекта. Один из приемов классической логики, позволяющих доказывать теоремы чистого существования, явл. рассуждение от противного:

1.αА 2.Г, αА ├ С 3. Г, αА ├ ¬С

Г├¬¬αАГ├αА

Но принятие классического закона снятия двойного отрицания объявляется интуиционистами неправомерным. ¬¬А├А; ├ ¬¬АА.

Последовательное рационалистическое истолкование основных положений интуиционистской концепции было осуществлено в рамках конструктивного направления. Конструктивизм(Марков, Шанин) – если мы пишем ф-лу, то мы утверждаем, что имеется док-во этой ф-лы. ├АВ – конструктивно доказано, что имеется конструктивно доказанное А, которое можно преобразовать в док-во В. ¬А конструктивно доказано е.и.т.е док-во А приводит к противоречию. αА считается конструктивно доказанным е.и.т.е. указан конкретный конструктивный объект а, обладающий свойством А(а) –т.е относительно которого доказана справедливость утверждения А(а). Под конструктивным объектом понимается такой объект, для которого существует эффективный метод его построения в конечное число шагов. Интуиционизм предлагает отказ от классического понятия истины, истинными в нем признаются только такие высказывания, которые конструктивно доказаны. Высказывание А˅В считается конструктивно доказанным, е.и.т.е конструктивно доказано высказывание А или высказывание В, причем точно известно, какое именно высказывание доказано. Высказывание А&В считается конструктивно доказанным е.и.т.е конструктивно доказано и высказывание А и высказывание В. Универсальное высказывание А считается конструктивно доказанным, е.и.т.е имеется общий метод, позволяющий относительно произвольного конструктивного объекта а из предметной области теории конструктивно док-ть утверждение А(а).

20)Интуиционисткая логика: исчисление, семантика, связь с модальной сис-мой S4.

Cемантика Крипке: модель <W, w₀,R,I>, в которой

1)W. 2) w₀W(наш мир один из возможных). 3)RW²(R – бинарное отношение на W, обладающее свойствами рефлексивности и транзитивности).

4)I(p,w₁)=и R(w₁, w₂)I(p,w₂)=и – т.е знание сохраняется, нет ревизии знания, только его накопление.

1)|p|_W=иI(p,w)=и; |p|_W=лI(p,w)=л;

2)|A&B|_W=и|A|_W=и|В|_W=и; |A&B|_W=л|A|_W=л|В|_W=л

3)А|_W=иw₁(R(w,w₁)|A|_W1=л); А|_W=лw₁(R(w,w₁)& |A|_W1=и)

4)|AB|_W=иw₁(R(w,w₁)|A|_W1=л|B|_W1=и))

|AB|_W=лw₁(R(w,w₁)& |A|_W1=и & |B|_W1=л))

¬АА ; w₁(R(w,w₁)(|A|_W1=и| |_W1=и))

Ф-ла общезначима в моделе, е.и.т.е, она общезначима в любой модели. Гливенко показал, что произвольная ф-ла доказуема в классической логике высказываний, тогда и только тогда, когда ¬¬А доказуема в исчислении Гейтинга(Н). В исчислении единственное пр-ло – модус поненс. Если вместо А10 поставим А10*¬¬АА – то получим классическое пропозициональное исчисление. Интуиционистсткое исчисление представляет собой подсистему классического: всякая интуиционистски доказуемая ф-ла доказуема и классически. Принцип сохранности истины действует в данной семантике не только для пропозициональных переменных, но идля ф-л любой сложности: если произвольная ф-ла А истинна в мире w1 и из этого мира достижим мир w2, то ф-ла А окажестся истинной в w2. Возможные миры можно трактовать как совокупность знаний на разных этапах истории. Знание не исчезает, оно может только прирасти.Маккинси и Тарский предложили естественный перевод ф-л языка интуиционистской логики в S4. ϕ – ф-ция перевода. ϕ(¬А)= ¬ϕ(А)

ϕ(А&В)=ϕ(А)&ϕ(В)

ϕ(АВ)= (ϕ(А) ϕ(В)); ϕ(р)= р

˅ так же как и &.Произвольная ф-ла А языка интуиционистской логики доказуема в исчислении Гейтинга(Н) тогда и только тогда, когда ее перевод ϕ(А) доказуем в S4 –

A(├ _HA├_S4 ϕ(A). Это значит, что интуиционистские законы имеют адекватную интерпретацию в S4.