Принципы построения многозначных логик. Основные виды многозначных логик.

Методы построения многозначной логики: С-множество пропозициональных связок.

f_{c –} истинностная ф-ция, соответствующая связке сС. V-непустое множество значений. V= {и,л} – классическая логика. V={1,1/2, 0} – логика Лукасевича.Если это множество содержит конечное число к истинностных оценок, то соответствующая многозначная логика наз-ся конечнозначной, а именно к- значной. Если же множество возможных истинностных значений формул в сис-ме многозначной логики бесконечно, то это бесконечнозначная логика. D – подмножество V, называемое «множества выделенных значений». DV. D={и} – в классич.логике. В многозначных логиках может быть много степеней истины. D_L3={1}. ᶷ:{Ф(ф-лы)}V(значение). Ф-ция ᶷ ставит в соответствие ф-ле ее значение. Это таблицы истинности в классической логике. < V,D,{f_c:c},ᶷ> - способ задания логики. ǀ=Аᶷ(А)D. Aǀ=Bᶷ (ᶷ(A)Dᶷ(B)D). D={и} – в классической логике. <{и,л},{и},{f_¬, f_&, f_˅, f},ᶷ₂ > - задание классической логики. ᶷ_nV. ᶷ₂(¬A)=иᶷ₂(А)=л.

ᶷ₂(¬А)=лᶷ₂(А)=и. – в классической логике.

Если число возможных значений формул велико, то ф-ции удобнее задавать аналитически, именно с этой целью в кач-ве истинностных оценок в многозначной логике используются числа: в таком случае пропозициональные связки интерпретируются как знаки операций над числами. Например, связке ¬ в L₃ соответствует операция вычитания аргумента из 1(т.е числовая ф-ция 1-х).

¬(отрицание):

1)позволяет упростить процесс построения многозначных логик

2)подходит для построения любых логик.

3)дает обобщение понятий.

Конечно-значная логика Лукасевича имеет к значений, при этом к>2, V₃={1,1/2,0}.Бесконечнозначная логика Лукасевича n/k, n – рациональные числа, k-кол-во значений. 1

2/3

1/3

2/3 истинней чем 1/3. 1/3 почти ложна, это все степени истины.

Э.Пост сформулировал много многозначных логик. Одна из многозначных логик Поста – сис-ма Р₃, в которой имеется 3 возможных значения ф-л – 1,1/2, 0 и лишь одно из них – 1 является выделенным. Исходными пропозициональными связками у Поста являются ¬ и ˅. Семантическое определение ˅ в Р₃ такое же, как в L₃(логика Лукасевича), но отрицание задается иным образом: А ¬А

1 ½

½ 0

0 1

Отрицание в системах Поста наз-ся циклическим, оно в отличие от диагонального отрицания в лог. Лукасевича, не удовлетворяет принципу преемственности многозначной логики по отношению к двузначной: на классическом аргументе 1 циклическое отрицание принимает не то же самое значение, что в классической логике.Это обстоятельство приводит к следствию, отличающему Р₃ от L₃: некоторые законы логики Поста(содержащие связки ˅, ¬) необщезначимы в классической логике. Важным свойством 3-ехзначной логики Поста является тот факт, что ее исходные операторы ¬ и ˅ составляют функционально полную систему связок, т.е с их помощью можно представить любую ф-цию истинности, заданную на множестве {1, ½,0}. Свойство функциональной полноты исходной системы связок характерно для любой n-значной логики Поста. В логике Поста & и ˅ как в L₃. Aǀ=¬¬A. Закон ǀ=¬¬¬(р˅¬р˅¬¬р) – появ. новый закон.

Основные виды многозначных логик – конечнозначные и бесконечнозначные. Множество возможных значений ф-л(V) в к-значной логике L_k задается следующим образом:V={0,1/k-1, 2/k-1….,k-2/k-1, 1}. Например в 5-значной логике V={0,1/4,2/4,3/4,1}.Бесконечнозначные логики Лукасевича могут быть счетнозначными и континуальнозначными. Счетнозначные – значениями ф-л считают все рациональные числа(числа, которые можно представить в виде дроби n/m, в замкнутом интервале [0,1]. Поскольку множество рацион. чисел счетно, то соответствующая многозначная логика наз-ся счетнозначной. Континуальнозначные – V= множеству действительных чисел(как рацион., так и иррациональных) в интервале [0,1]. Данное множество не является счетным и имеет мощность континуума. Во всех многозначных логиках Лук. и в L_k и в L- имеется лишь одно выделенное значение – значение 1. L_k является подсистемой логики L_m(т.е включается по классу теорем) е.и.т.е к-1/m-1(делится нацело).

Паранепротиворечивые и параполные логики.

некоторые законы классич. логики:

1)А&¬Аǀ=В(противоречие влечет все что угодно)

2)Вǀ=А˅¬А(закон исключенного третьего вытекает из чего угодно).

Теория – это множество фрмул, обладающих следующими свойствами:

1)АТ и ВТ (А&В)Т

2)А˅ВТ АТ или ВТ

3)АТ и А˫ВВТ(замкнутость относительно выводимости).

Теория наз-ся тривиальной(е.и.т.е)А(АТ) – любая ф-ла принадлежит Т.Непротиворечивая теория ТА(АТ и ¬АТ). Любая противоречивая теория является тривиальной, если она основана на классич. логике.Док-во:

+1.А(АТ и ¬АТ)

2. АТ и ¬АТ - _и:1

3.А&¬АТ – из 2 по опр теории(свойство 1)

4. А&¬А˫В – дедуктивный принцип к(классической логики)-(1)

5. А&¬АТ & А&¬А˫В – из 3,4 по &_в

6.ВТ – из 5 по опр теории(3 пункт)

7.В(ВТ) - _в:6, В – а.о.

8.А (АТ и ¬АТ)В(ВТ) - _в:1

Противоречивые, но не тривиальные теории наз-ся паранепротиворечивыми. Примером паранепротиворечивой теории явл. логика парадокса Приста(LP). Условия истинности &,˅,¬ - как в лог. Лукасевича.D={1,1/2}.1-и(t), ½-b (Both) – и и л.0-л(f). A(ǀ=_LPA ǀ=_kA) – т.е все законы логики парадокса Приста являются законами классич логики.

А&¬Аǀ=В. Не действует Модус Поненс.

Логика Клини – это параполная логика, т.к она позволяет рассуждать в условиях неполной информации.¬,˅,& - как в L₃.V={t,n,f}. none – ни то, ни другое. _к t n f

t t n f

n t n n

f t t t

A_kB¬A˅B. если D={1} в этой логике, то в логике нет теорем, она пустая. А&¬Аǀ=_кВ; Вǀ=_кА˅¬А