Полиномиальные модели

Итак, неизвестная функция отклика представляется полиномом. Операция замены одной функции другой эквивалентной функцией называется аппроксимацией. Значит неизвестная функция аппроксимирована полиномом. но полиномы бывают разных степеней. Какой взять на первом шаге? Эксперимент нужен только для того, чтобы найти численные значения коэффициентов полинома. Поэтому чем больше коэффициентов, тем больше опытов окажется необходимым, но при этом преследуется цель сокращения опытов. Значит надо найти такой полином, который содержит как можно меньше коэффициентов, но удовлетворяет требованиям, предъявленным к модели. Чем ниже степень полинома при заданном числе факторов, тем меньше в нём коэффициентов. В этой связи можно ли всегда использовать полином нулевой степени? Нет, т.к. трудно ожидать, что результаты опытов будут всегда одинаковы независимо от уровней факторов. А если результаты различны, то такая модель не будет адекватной, т.е. не будут выполняться требования.

Модель должна хорошо предсказывать направление наискорейшего улучшения параметра оптимизации. Такое направление называется направлением градиента. Движение в этом направлении приведёт к успеху быстрее, чем движение в любом другом направлении (это значит, что будет достигнута экономия числа опытов). Можно ли в этой связи всегда использовать полином первой степени? Да, потому что полином первой степени – линейная модель, а это то, что нужно. С одной стороны, он содержит информацию о направлении градиента, с другой – в нём минимально возможное число коэффициентов при данном числе факторов. Единственное опасение в том, что неясно, будет ли линейная модель всегда адекватной. Ответ зависит ещё и от объекта исследования.

Вопрос в том, как выбрать подобласть в факторном пространстве, чтобы линейная модель оказалась адекватной. Условие аналитичности функции отклика гарантирует эту возможность. Всегда существует такая окрестность любой точки, в которой линейная модель адекватна. Размер такой области заранее неизвестен, но адекватность можно проверять по результатам эксперимента. Значит, выбрав сначала произвольную подобласть, можно найти требуемые размеры. И как только это случится, можно воспользоваться движением по градиенту.

На следующем этапе находится линейная модель уже в другой подобласти. Цикл повторяется до тех пор, пока движение по градиенту не перестанет давать эффект. Это значит, что достигнута область, близкая к оптимуму. Такая область называется «почти стационарной». Здесь линейная модель уже не нужна. Либо попаданием в почти стационарную область задача решена, либо надо переходить к полиномам более высоких степеней, чтобы подробнее описать область оптимума. Удачный выбор подобласти имеет большое значение для успеха всей работы. Он связан с интуитивными решениями, которые принимает экспериментатор на каждом этапе.

Кроме задачи оптимизации, иногда возникает задача построения интерполяционной модели. В этом случае оптимум не интересует, т.к. результат предсказывается с требуемой точностью во всех точках некоторой заранее заданной области. Здесь не приходится выбирать подобласть. Необходимо последовательно увеличивать степень полинома до тех пор, пока модель не окажется адекватной. Если адекватной оказывается линейная или неполная квадратная модель (без членов, содержащих квадраты факторов), то её построение аналогично тому, что требуется для оптимизации.