Точні і наближені числа. Джерела похибок. Класифікація похибок

При розв‘язанні будь-якої математичної або інженерної задачі на ЕОМ числовий результат, як правило, не є точним, оскільки при постановці задачі і виконанні обчислень виникають похибки. Тому будь-яка задача, яка пов'язана з деякими діями над числами, може бути розв'язана з певним ступенем точності. У зв'язку з цим при постановці задачі потрібно обумовлювати точність її розв'язку, тобто задавати похибку, що максимально допустима у процесі обчислень. Тому розглянемо поняття наближеного числа та визначимо основні джерела похибок при розв‘язанні інженерних задач [1-13].

Наближеним числом називають число а, яке несуттєво відрізняється від точного числаА і заміняє останнє при обчисленнях.

Джерелами похибок (помилок) при виконанні інженерних розрахунків та обчислень з використанням ЕОМ можуть бути [1-11, 13]:

ü неточне відображення реальних процесів за допомогою математики, в зв'язку з чим розглядається не сам процес, а його ідеалізована математична модель. Не завжди реальні явища природи можна точно відобразити математично. Тому приймаються умови, що спрощують розв'язок задачі, яка викликає появу похибок. Деякі задачі неможливо розв'язати при точній постановці і вони можуть замінюватися іншими задачами, близькими за результатами до перших. При цьому також виникають похибки;

ü наближене значення величин, які входять в умову задачі, внаслідок їх неточного виміру. Це похибки вхідних даних, фізичних констант, чисел , е та інші;

ü заміна нескінчених процесів, межами яких є шукані величини, кінцевою послідовністю дій. Сюди відносяться похибки, що утворюються в результаті обриву якогось нескінченого процесу на деякому етапі. Наприклад, якщо в ряді взяти певну кількість членів і прийняти їх суму за значення функції sіn(x), то ми, звичайно припускаємо похибку;

ü округлення вхідних даних, проміжних або кінцевих результатів, коли при обчисленнях використовується лише кінцеве число цифр числа;

ü крім вказаних вище випадків, похибки можуть з’являтися в результаті дій над наближеними числами. У цьому випадку похибки вхідних даних у деякій мірі переносяться на результат обчислень.

Повна похибка є результатом складної взаємодії всіх видів похибок. При розв’язку конкретних задач ті або інші похибки можуть бути відсутні або мало впливати на утворення повної похибки. Але для повного аналізу похибок необхідно враховувати всі їх види [3, 9].

У всіх випадках повна похибка не може перевищувати по своїй абсолютній величині суми абсолютних величин всіх видів похибок, але звичайно вона рідко досягає такої максимальної величини.

Таким чином, похибки можна розділити на три великі групи:

ü вхідні (не усунені), до яких відносяться похибки, що виникають в результаті наближеного опису реальних процесів і неточного завдання вхідних даних, а також похибки, зв’язані з діями над числами. Ці похибки проходять через усі обчислення і є неусуненими;

ü похибки округлення, які з’являються у результаті округлення вхідних даних, проміжних і кінцевих результатів;

ü залишкові, що виникають у результаті заміни нескінчених процесів кінцевою послідовністю дій.

Оцінка похибки може бути виконана за допомогою:

– абсолютної похибки;

– відносної похибки;

– залишкового члена;

– статистичних оцінок.

При роботі з наближеними величинами необхідно вміти:

– знаючи степінь точності вхідних даних, оцінити степінь точності результатів;

– брати вхідні дані з таким степенем точності, щоб забезпечити задану точність результату. В цьому випадку не потрібно сильно підвищувати точність вхідних даних, для того щоб позбутися непотрібних розрахунків;

– задавати математичні характеристики точності наближених величин;

– вміти правильно побудувати обчислювальний процес, щоб позбавити його від тих обчислень, що не чинять впливу на точні цифри результату.