Похибка функції. Похибки суми, різниці і добутку

Розглянемо функцію , параметри якої являють собою наближені числа з абсолютною похибкою .

Абсолютна похибка функції визначається як сума абсолютних похибок параметрів функції помножених на вагові коефіцієнти , які характеризують швидкість зміни функції при зміні кожного параметра.

(1.21)

Відносна похибка може бути визначена сумою абсолютних похибок параметрів функції помножених на вагові коефіцієнти, які представляють собою модуль часткової похідної логарифма функції по відповідному параметру [9, 11, 13].

(1.22)

Якщо функція являє собою суму параметрів, то абсолютна похибка теж є сумою похибок:

Якщо , то (1.23)

Якщо функція представляє собою добуток параметрів, то і відносна похибка також представляє добуток:

Якщо , то (1.24)

Теорема 1. Абсолютна похибка алгебраїчної суми декількох наближених чисел не перевищує суми абсолютних похибок цих чисел.

Наслідок. Гранична абсолютна похибка алгебраїчної суми декількох наближених чисел рівна сумі гранично абсолютних похибок цих чисел.

При складанні наближених чисел з різною абсолютною похибкою рекомендується діяти наступним чином:

ü виділити число ( або числа) найменшої абсолютної точності;

ü найбільш точні числа округлюють таким чином, щоб зберегти в них на один знак більше, ніж у виділеному числі;

ü виконати додавання, враховуючи всі збережені знаки;

ü отриманий результат заокруглити на один знак.

Приклад 1. Скласти кілька наближених чисел:

У кожному з приведених чисел вірні всі значущі цифри (у широкому змісті).

Розв‘язок. Виділяємо два числа найменшої точності 204,4 і 144,2. Обидва вони визначені з точністю до 0,1. Отже, інші числа округлюються з точністю до 0,01. Округлимо і складемо ці числа. В результаті отримуємо число 374,19.

Округляючи це число до 0,1 остаточно одержимо а = 374,2. Оцінимо точність результату. Для цього знайдемо повну похибку, яка складається з трьох значень:

1) суми граничних похибок вихідних даних

2) абсолютної величини суми похибок (з обліком зі знаків) округлення

3) кінцевої похибки округлення результату

Отже,

Таким чином, переконуємося, що остаточна похибка не менше граничної абсолютної похибки найменш точного з чисел які додаються (дійсно, 0,3 > 0,01).

 

Приклад 2. Обчислити значення функції y=1-cosx для наступних значень аргументу: 1) х = 80°; 2) x= 1°. Підрахувати граничні абсолютну та відносну похибку результату.

Розв‘язок. 1) знаходимо: соs 80° = 0,1736 і оскільки всі цифри цього числа вірні у вузькому змісті, то . Тоді та (з точного числа, рівного одиниці, віднімається наближене число абсолютна похибка якого, не перевищує 0,00005). Отже,

Маємо тобто,

з наведених прикладів видно, що для малих значень аргументу безпосередній розрахунок по формулі y=1-cosx дає відносну похибку порядку 25%. Для така похибка складає всього лише 0,006%.

Змінимо чисельну схему і для обчислення значень функції y=1-cosx при малих значеннях аргументу скористаємося формулою

Позначимо тоді

Але

У результаті отримаємо (а раніше мали ). Таким чином, просте перетворення розрахункової формули дозволило одержати більшу точність.

Теорема 2. Відносна похибка добутку декількох наближених чисел, відмінних від нуля не перевищує суми відносних похибок цих чисел.

Доведення. Нехай

(1.25)

Для визначеності припустимо, що наближені числа позитивні і мають абсолютні похибки відповідно.

Для оцінки похибки добутку прологарифмуємо вираз (1.25):

(1.26)

Абсолютна похибка алгебраїчної суми декількох наближених чисел (1.26) не перевищує суми абсолютних похибок цих чисел, тобто

(1.27)

Використовуючи наближену формулу

(1.28)

Одержимо (1.29)

Звідки (1.30)

Зазначимо, що знак модуля у виразі (1.29) виключений, тому що було прийнято, що ,(і = 1, 2, ... , n).

Наслідок. Гранична відносна похибка добутку дорівнює сумі граничних відносних похибок співмножників

 

Приклад 3. Знайти добуток наближених чисел і всі цифри яких вірні.

Розв‘язок. У першому числі дві вірні значущі цифри, а в другому – п'ять. Тому друге число округляємо до трьох значущих цифр. Після округлення маємо:

звідси

У результаті залишені дві значущі цифри, тобто стільки, скільки їх мав співмножник з найменшою кількістю вірних значущих цифр.

Приклад 4. Визначити добуток наближених чисел і і число вірних знаків у ньому, якщо всі написані цифри співмножників вірні (у вузькому змісті).

Розв‘язок. В першому числі три вірні значущі цифри, в другому - чотири; можна перемножити числа без попереднього округлення: Варто залишити три значущі цифри, тому що найменш точний зі співмножників має стільки ж вірних значущих цифр; таким чином и=713. Підрахуємо похибку:

тоді Значить добуток u має два знаки і його варто записати так:

 

Приклад 3. Визначити граничну відносну похибку і кількість вірних цифр добутку , де всі цифри співмножників вірні у вузькому змісті.

Розв‘язок. Обидва співмножники мають по чотири вірні цифри у вузькому змісті, тобто і . Тоді по формулі маємо

звідси слідує що добуток має три вірні цифри в вузькому змісті.

Перевіримо, чи насправді це так. Знайдемо добуток даних наближених чисел; він дорівнює . Визначимо граничну абсолютну похибку за формулою

Отримаємо Тоді

Отже, добуток має три вірні цифри в вузькому змісті.