Означення. Перестановками з n елементів називаються розмі­щення з n елементів по n елементів.

Перестановки є окремим ви­падком розміщень. Оскільки перестановка містить всі n елементів множини, то різні перестановки відрізняються одна від другої тільки порядком елементів. Можна сказати, що перестановка - це кількість різних способів, якими можна упорядкувати n елементну множину.

Число перестановок з n елементів позначають символом Р_n (Р - перша буква французького слова реrmutation - перестановка).

Оскільки за означенням Р_n =, то формули для обчислення числа перестановок з n елементів можна безпосередньо одержати а форму­ли числа розміщень з n елементів по m елементів, замінивши в них m на n:

Р_n == n(n-1)(n-2)…3×2×1=n!

або Р_n == (1)

Отже, справедлива теорема

Теорема 3. Число перестановок з n елементів дорівнює добутку всіх натуральних чисел від 1 до n:

Р_n=1×2×3 … (n-1)n=n!

Звідси маємо, що у множині, яка містить n елементів, вста­новити певний порядок слідування елементів, тобто упорядкувати n-елементну множину можна n! способами.

Теорему 3 можна довести незалежно від розміщення. Розглянемо всі можливі перестановки з n елементів і полічимо, скільки в них на першому місці один i той же елемент. Якщо поставити названий елемент перед кожною перестановкою а інших елементів, то одержи­мо всі можливі перестановки, які починаються з даного елемента. Отже, число всіх перестановок з n елементів, які починаються з даного елемента, дорівнює Р_n-1. Але тоді число всіх перестановок з n елементів буде дорівнювати

Р_n= n × Р_n-1, (2)

бо кожний з n елементів може бути першим.

Користуючись формулою (2), можна далі довести теорему 3 ме­тодом математичної індукції.

1) формула (1) вірна при n=1, бо один елемент може знаходи­тись лише на першому місці, тобто Р₁=1.

2) Припустимо, що формула (1) вірна при n=k, тобто, що

Р_k = k! =1×2× … × k

3) Доведемо, що формула (1) вірна тоді і при n=k+1, тобто, що Р_k+1 = (k+1)! =1×2×3× … × k×(k+1).

Дійсно, за формулою (2)

Р_k+1 = (k+1) Р_k =1×2× … × k×(k+1).

4) На основі принципу математичної індукції випливає, що формула (1) вірна для будь-якого натурального значення числа n.

Приклад 1. Скількома способами можна поставити на полиці 6 різних книг?

Розв'язання. Число таких способів дорівнює числу перестановок з шести елементів без повторення, тобто

Р₆ = 1×2 × 3 × 4 × 5 × 6 = 720 (способами).

Відповідь. 720.

Приклад 2. Скількома способами можна розташувати пшеницю, жито, овес і ячмінь на чотирьох полях?

Розв’язання. Число таких способів дорівнює числу перестановок з чотирьох елементів без повторення.

Р = 1×2 × 3 × 4 = 24

Відповідь.24 способа.

У розглянутих перестановках без повторення число перестановок з n елементів дорівнює n!. Але якщо серед даних n елементів є однакові, то перестановки , які утворюються одна з одної переставленням однакових елементів, нічим не відрізняються; том цьому випадку кількість різних перестановок буде меншою ніж n!