рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Образование
/
Теорема 2. Число розміщень з повтореннями з n елементів по m елементів обчислюють за формулою

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Теорема 2. Число розміщень з повтореннями з n елементів по m елементів обчислюють за формулою

Теорема 2. Число розміщень з повтореннями з n елементів по m елементів обчислюють за формулою - раздел Образование, Основи теорії та методичні вказівки ...

= n^m , (3)

де m і n - натуральні числа.

Доведення. Перш за все відмітимо, що розміщення з повтореннями з n елементів по m елементів можна одержати з розміщень по (m-1) елементу приєднанням ще одного елемента. Оскільки до кожного розміщення по (m-1) елементів можна приєднати будь-який з n елементів, то кожне розміщення по (m-1) елементу породжує n різних розміщень по m елементів, тобто

. (4)

Тепер доведення формули (3) проведемо методом математичної індукції по m.

1) При m=1 число розміщень дорівнює n:

2) Припустимо, що формула (3) вірна для деякого m=k, тобто, що

3) Доведемо, що при цьому формула (3) вірна також і для m=k+1,

тобто, що

Дійсно, користуючись формулою (4), знайдемо:

4) Вимоги математичної індукції виконуються, тому формула (3) вірна для будь-якого натурального значення m.

Наслідок. Число підмножин n-елементної множини дорівнює 2ⁿ. Дійсно, нехай маємо множину М=(а₁,а₂,…,а_n), елементи якої перенумеровані. Кожну підмножину множини М можна подати у вигляді упорядкованої n- елементної множини, елементами якої є нулі і одиниці, причому одиницю ставимо на тому місці, на якому знаходиться певний елемент множини М, а нуль тоді, коли елемент множини М не входить у підмножину. Наприклад, якщо М=(а₁,а₂,a₃,а₄), то набір (0;1;1;0) показує, що маємо підмножину (а₂,a₃), набір (0;0;0;0) - порожня множина, а набір (1;1;1;1) - це вся множина М.

Звідси випливає, що знайти число підмножин n-елементної множини М - це все одно, що знайти число перестановок з n елементів з повтореннями, 2-елементної множини (0;1). За формулою (1) число таких перестановок дорівнює 2ⁿ.

Приклад 2. До шестицифрових номерів телефонів входять цифри від О до 9. Скільки абонентів може обслуговувати телефонна станція?

Розв'язання. Оскільки цифри в номерах можуть повторюватись, то кількість шестицифрових номерів телефонів дорівнює числу розміщень з 10 елементів по 6 з повторенням, тобто

Відповідь. 1000000 абонентів.

Приклад 3. У селі проживає не менше 1000 жителів. Довести, що принаймні двоє з них мають однакові ініціали.

Розв’язання. В українському алфавіті 29 букв, які можуть бути ініціалами людини. Кількість всіх можливих різних пар ініціалів дорівнює числу розміщень з 29 букв з повтореннями, тобто

Відповідь. 841 різних пар ініціалів.

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Основи теорії та методичні вказівки

Чернігівський державний інститут економіки і управління... Затверджено радою... Обліково економічного факультету...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Теорема 2. Число розміщень з повтореннями з n елементів по m елементів обчислюють за формулою

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Означення. Кожна упорядкована m-елементна підмножина n-елементної множини, називається розміщенням з n елементів по m елементів.
З означення випливає, що n³m³0 і що розміщення з n елементів по m елементів - це всі m-елементні підмножини, які відрізняються між собою або складом елементів або порядком їх

Теорема 1. Число розміщень з n елементів по m елементів дорівнює добутку m послідовних натуральних чисел від n до n-m+1 включно, тобто
= n(n-1) (n-2) … (n-m+1), m>0(1) Доведення. Число розміщень з n елементів по m ел

Означення. Перестановками з n елементів називаються розміщення з n елементів по n елементів.
Перестановки є окремим випадком розміщень. Оскільки перестановка містить всі n елементів множини, то різні перестановки відрізняються одна від другої тільки порядком елементів. Можна сказати, що п

Означення. Сполученням з n елементів по m елементів називають будь-яку m-елементну підмножину n-елементної множини.
Звідси випливає, що сполучення з n елементів по m елементів - це всі m-елементні підмножини n-елементної множини, причому різними підмножинами вважаються ті, склад яких відрізняється хоч би одним е

Теорема 5. Для довільних натуральних n i m (m£n) має місце формула
= (1) Доведення. Споч

Теорема 6. Для довільних натуральних n і m (m£n) справджується рівність
= (3) Доведення. Рівн

Теорема 8. Число різних можливих сполучень з повтореннями і з n елементів по m елементів при довільних натуральних n іm обчислюється за формулою
(1) Доведення.

Варіанти індивідуальних завдань
Варіант 1 1. Розклад одного дня містить 4 різних пари. Знайти кількість можливих розкладів, якщо вивчається 9 дисциплін. 2. На збор