Подбор сечений с учетом собственного веса (при растяжении и сжатии). - раздел Образование, Введение и основные понятия. Метод сечений для определения внутренних усилий. Эпюры внутренних усилий при растяжении-сжатии и кручении При Установлении Внешних Сил, Растягивающих Или Сжимающих Элементы Конструкци...
При установлении внешних сил, растягивающих или сжимающих элементы конструкций, мы до сих пор игнорировали собственный вес этих элементов. Возникает вопрос, не вносится ли этим упрощением расчета слишком большая погрешность? В связи с этим подсчитаем величины напряжений и деформаций при учете влияния собственного веса растянутых или сжатых стержней.
Пусть вертикальный стержень (Рис.1, а) закреплен своим верхним концом; к нижнему его концу подвешен груз Р. Длина стержня l, площадь поперечного сечения F, удельный вес материала 
и модуль упругости Е. Подсчитаем напряжения по сечению АВ, расположенному на расстоянии 
от свободного конца стержня.
а) б)
Рис.1. Исходная расчетная схема бруса а) и б) — равновесие нижней отсеченной части.
Рассечем стержень сечением АВ и выделим нижнюю часть длиной с приложенными к ней внешними силами (Рис.1, б) — грузом Р и ее собственным весом 
. Эти две силы уравновешиваются напряжениями, действующими на площадь АВ от отброшенной части. Эти напряжения будут нормальными, равномерно распределенными по сечению и направленными наружу от рассматриваемой части стержня, т. е. растягивающими. Величина их будет равна:
Таким образом, при учете собственного веса нормальные напряжения оказываются неодинаковыми во всех сечениях. Наиболее напряженным, опасным, будет верхнее сечение, для которого достигает наибольшего значения l; напряжение в нем равно:
Условие прочности должно быть выполнено именно для этого сечения:
Отсюда необходимая площадь стержня равна:
От формулы, определяющей площадь растянутого стержня без учета влияния собственного веса, эта формула отличается лишь тем, что из допускаемого напряжения вычитается величина 
.
Чтобы оценить значение этой поправки, подсчитаем ее для двух случаев. Возьмем стержень из мягкой стали длиной 10 м; для него 
, а величина 
. Таким образом, для стержня из мягкой стали поправка составит 
т. е. около 0,6%. Теперь возьмем кирпичный столб высотой тоже 10 м; для него 
, а величина 
Таким образом, для кирпичного столба поправка составит 
, т.е. уже 15%.
Вполне понятно, что влиянием собственного веса при растяжении и сжатии стержней можно пренебрегать, если мы не имеем дела с длинными стержнями или со стержнями из материала, обладающего сравнительно небольшой прочностью (камень, кирпич) при достаточном весе. При расчете длинных канатов подъемников, различного рода длинных штанг и высоких каменных сооружений (башни маяков, опоры мостовых ферм) приходится вводить в расчет и собственный вес конструкции.
В таких случаях возникает вопрос о целесообразной форме стержня. Если мы подберем сечение стержня так, что дадим одну и ту же площадь поперечного сечения по всей длине, то материал стержня будет плохо использован; нормальное напряжение в нем дойдет до допускаемого лишь в одном верхнем сечении; во всех прочих сечениях мы будем иметь запас в напряжениях, т. е. излишний материал. Поэтому желательно так запроектировать размеры стержня, чтобы во всех его поперечных сечениях (перпендикулярных к оси) нормальные напряжения были постоянны,
Такой стержень называется стержнем равного сопротивления растяжению или сжатию. Если при этом напряжения равны допускаемым, то такой стержень будет иметь наименьший вес.
Возьмем длинный стержень, подверженный сжатию силой Р и собственным весом (Рис.2). Чем ближе к основанию стержня мы будем брать сечение, тем больше будет сила, вызывающая напряжения в этом сечении, тем большими придется брать размеры площади сечения. Стержень получит форму, расширяющуюся книзу. Площадь сечения F будет изменяться по высоте в зависимости от , т. е. 
.
Установим этот закон изменения площади в зависимости от расстояния сечения от верха стержня.
Рис.2. Расчетная схема бруса равного сопротивления
Площадь верхнего сечения стержня 
определится из условия прочности:
и 
где 
— допускаемое напряжение на сжатие; напряжения во всех прочих сечениях стержня также должны равняться величине
Чтобы выяснить закон изменения площадей по высоте стержня, возьмем два смежных бесконечно близких сечения на расстоянии от верха стержня; расстояние между сечениями 
; площадь верхнего назовем 
, площадь же смежного 
.
Приращение площади 
при переходе от одного сечения к другому должно воспринять вес 
элемента стержня между сечениями. Так как на площади он должен вызвать напряжение, равное допускаемому , то определится из условия:
Отсюда:
После интегрирования получаем:
При 
площадь 
; подставляя эти значения, имеем:
и 
Отсюда
, 
Если менять сечения точно по этому закону, то боковые грани стержня получат криволинейное очертание (Рис.2), что усложняет и удорожает работу. Поэтому обычно такому сооружению придают лишь приближенную форму стержня равного сопротивления, например в виде усеченной пирамиды с плоскими гранями. Приведенный расчет является приближенным. Мы предполагали, что по всему сечению стержня равного сопротивления передаются только нормальные напряжения; на самом деле у краев сечения напряжения будут направлены по касательной к боковой поверхности.
В случае длинных канатов или растянутых штанг форму стержня равного сопротивления осуществляют тоже приближенно, разделяя стержень по длине на ряд участков; на протяжении каждого участка сечение остается постоянным (Рис.3) — получается так называемый ступенчатый стержень.
Рис.3. Эквивалентный ступенчатый брус с приближением к модели бруса равного сопротивления
Определение площадей 
... при выбранных длинах производится следующим образом. Площадь поперечного сечения первого нижнего участка будет по формуле равна:
Чтобы получить площадь поперечного сечения второго участка, надо нагрузить его внешней силой Р и весом первого участка
:
Для третьего участка к внешней силе добавляются веса первого и второго участков. Подобным же образом поступают и для других участков.
Все темы данного раздела:
ЭПЮРЫ ВНУТРЕННИХ УСИЛИЙ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ-СЖАТИИ
Растяжением или сжатием называется такой простой вид сопротивления, при котором внешние силы приложены вдоль продольной оси бруса, а в поперечном сечении его возникает только нормальная сила.
ЭПЮРЫ ВНУТРЕННИХ УСИЛИЙ ПРИ КРУЧЕНИИ
Кручением называется простой вид сопротивления, при котором к брусу (валу) прикладываются внешние пары сил в плоскостях, совпадающих с поперечным сечением вала, а в последних возникает только внутр
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ ВНУТРЕННИМИ УСИЛИЯМИ ПРИ ИЗГИБЕ
Рассмотрим расчетную схему балки с произвольной распределенной нагрузкой (рис.2).
НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ. ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ
Вектор напряженийpn является физическим объектом, имеющим длину, направление и точку приложения. В этом смысле он обладает векторными свойствами. Однако этому объекту присущи неко
ТЕНЗОР ДЕФОРМАЦИИ
Рассмотрим вначале случай плоской деформации (рис. 4). Пусть плоский элемент MNPQ перемещается в пределах плоскости и деформируется (изменяет форму и размеры). Координаты точек элемента до и
ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ УПРУГОЙ ДЕФОРМАЦИИ
Рассмотрим вначале элементарный объем dV=dxdydz в условиях одноосного напряженного состояния (рис. 1). Мысленно закрепим площадку х=0 (рис. 3). На противоположную площадку действует с
МЕХАНИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТЕЛ
В упругом состоянии деформации обратимы, и вся энергия, затраченная на деформирование, при разгрузке возвращается (диссипация энергии отсутствует). Для любого твердого тела процесс деформиро
ДИАГРАММЫ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ КОНСТРУКЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ
Основным опытом для определения механических характеристик конструкционных материалов является опыт на растяжение призматического образца центрально приложенной силой, направленной по продольной ос
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ
Согласно ГОСТ 27.002—89 «Надежность в технике. Термины и определения» надежность конструкции есть свойство сохранять во времени способность к выполнению требуемых функций в заданных режимах.
РАСЧЕТНЫЕ НАГРУЗКИ, КОЭФФИЦИЕНТЫ ЗАПАСА
Условие прочности (1) записано через напряжения, которые вычисляются через внешние нагрузки, приложенные к конструкции. Пусть внешние нагрузки определены с точностью до одного параметра S, а
РАСЧЕТЫ ПО ДОПУСКАЕМЫМ НАГРУЗКАМ И ПО ДОПУСКАЕМЫМ НАПРЯЖЕНИЯМ
Если пренебречь случайным разбросом прочностных свойств материала конструкции, то расчетное и нормативное значения, а также среднее значение несущей способности R совпадают
RP
НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ (СЖАТИИ) ПРИЗМАТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ. РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ
Переходя к изучению введенных основных видов деформации стержней, ограничимся рассмотрением стержней постоянного поперечного сечения с прямолинейной осью, т. е. призматических стержней. Начн
ПОНЯТИЕ О КОНЦЕНТРАЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ, ПРИНЦИП СЕН-ВЕНАНА
Даже для призматического стержня равномерное распределение напряжений по поперечному сечению не всегда имеет место. Так, отклонения от равномерного распределения напряжений наблюдаются в окрестност
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЕФОРМАЦИЙ И ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Определим упругие деформации стержня предполагая, что изменение его длины при растяжении , называемое абсолютной продольной деформацией
Применение к статически определимым системам.
В предыдущем изложении методов расчета мы исходили из основного условия прочности . Это неравенство требует выбора размеров конструкции с та
Расчет статически неопределимых систем по способу допускаемых нагрузок.
Совсем другие результаты мы получим, если будем применять способ допускаемых нагрузок к статически неопределимым системам, стержни которых изготовлены из материала, обладающего способностью к больш
Деформации при действии собственного веса.
При определении влияния собственного веса на деформацию при растяжении и сжатии стержней придется учесть, что относительное удлинение различных участков стержня будет переменным, как и напряжение
Вычисление моментов инерции и моментов сопротивления для простейших сечений.
Известно, что интеграл вида является моментом инерции сечения относительно нейтральной оси.
Здесь
Общий способ вычисления моментов инерции сложных сечений.
При проверке прочности частей конструкций нам приходится встречаться с сечениями довольно сложной формы, для которых нельзя вычислить момент инерции таким простым путем, каким мы пользовались для п
Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции.
Как известно, центральные моменты инерции являются наименьшими из всех моментов относительно ряда параллельных осей.
Найдем теперь крайние значения (максимум и минимум) для центральных мом
РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФОРМЫ ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ ПРИ ИЗГИБЕ
Наиболее рациональным следует признать сечение, обладающее минимальной площадью при заданной нагрузке (изгибающем моменте) на балку. В этом случае расход материала на изготовление балки, будет мини
ПОНЯТИЕ О СОСТАВНЫХ БАЛКАХ
Работу составных балок проиллюстрируем на простом примере трехслойной балки прямоугольного поперечного сечения. Если слои между собой не связаны и силы трения между ними отсутствуют, то каждый из н
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОГО ИЗГИБА ПРИЗМАТИЧЕСКОГО СТЕРЖНЯ
Определено, что мерой деформации призматического стержня при прямом чистом изгибе является кривизна нейтрального слоя. Можно показать, что с достаточной для инженерных расчетов точностью этим тезис
Понятие о сдвиге. Расчет заклепок на перерезывание.
Мы изучали, что при простом растяжении или простом сжатии две части стержня, разделенные наклонным сечением, стремятся не только оторваться друг от друга, но и сдвинуться одна относит
Изгиб балки при действии продольных и поперечных сил.
На практике очень часто встречаются случаи совместной работы стержня на изгиб и на растяжение или сжатие. Подобного рода деформация может вызываться или совместным действием на балку продольных и п
Внецентренное сжатие или растяжение.
Вторым практически важным случаем сложения деформаций от изгиба и от продольных сил является так называемое внецентренное сжатие или растяжение, вызываемое одними продольными силами. Этот вид дефор
Примем следующий порядок расчета.
1. Разлагаем все внешние силы на составляющие
P1x, P2x,..., Pnx и P1y, P2y,..., Pny.
2. Строим эпюры изгиб
Подбор сечений балок равного сопротивления.
Все предыдущие расчеты относились к балкам постоянного сечения. На практике мы имеем часто дело с балками, поперечные размеры которых меняются по длине либо постепенно, либо резко.
Ниже ра
Определение деформаций балок переменного сечения.
При определении прогибов и углов поворота для балок с переменным сечением надлежит иметь в виду, что жесткость такой балки является функцией от х. Поэтому дифференциальное уравнение изогнуто
Общие понятия.
К числу статически неопределимых балок может быть отнесена балка на упругом основании. Так называется балка, опирающаяся по всей своей длине (Рис.1) на упругое основание, оказывающее в каждой точке
Расчет бесконечно длинной балки на упругом основании, загруженной одной силой Р.
Наиболее просто решается задача об изгибе бесконечно длинной балки, нагруженной одной сосредоточенной силой (Рис.2). Помимо непосредственного практического значения решение этой задачи позволит пут
Постановка задачи.
Кроме рассмотренных способов вычисления прогибов и углов поворота сечений балок существует более общий метод, пригодный для определения деформаций любых упругих конструкций. Он основан на применени
Вычисление потенциальной энергии.
При вычислении потенциальной энергии будем предполагать, что деформации не только материала, но и всей конструкции, следуя закону Гука, пропорциональны нагрузкам, т. е. линейно с ними связан
Расчетная модель к теореме Кастильяно.
При переходе от состояния балки к состоянию все нагрузки Р опустятся, знач
Теорема Максвелла—Мора.
Прогиб балки в точке приложения сосредоточенной силы Р равен:
аналогичное выражение мы имеем и для угла поворота
Метод Верещагина.
Способ Максвелла — Мора в значительной степени вытеснил на практике непосредственное применение теоремы Кастильяно. В справочниках обычно приводятся таблицы интегралов
Общие понятия и метод расчета.
До сих пор мы рассматривали только статически определимые балки, у которых три опорные реакции определялись из условий равновесия. Очень часто, по условиям работы конструкции, оказывается необходим
Способ сравнения деформаций.
Выполняя решение уравнения , названного уравнением совместности деформаций, можно рассуждать следующим образом.
Прогиб точки В
Выбор лишней неизвестной и основной системы.
В предыдущем примере мы выбрали за лишнюю неизвестную реакцию В. Мы могли бы выбрать и момент . Соответственно изменилась бы основна
Общий план решения статически неопределимой задачи.
Таким образом, общий метод решения, статически неопределимых задач распадается на ряд отдельных этапов.
В дух предыдущих лекциях приведены два варианта решения задачи: с лишней реакцией
Определение деформаций статически неопределимых балок.
После того, как определены опорные реакции, построены эпюры изгибающих моментов и поперечных сил, подобраны сечения статически неопределимой балки, определение ее деформаций ничем- не отличается от
Связи, накладываемые на систему. Степень статической неопределимости.
Для решения большинства статически неопределимых встречающихся на практике задач обозначенные приемы оказываются, однако, далеко не достаточными. Поэтому необходимо остановиться на более общих мето
Напряжения в сферических толстостенных сосудах.
На фиг. 547 изображен элемент, вырезанный из толщи стенки толстостенного сферического сосуда; внутренний радиус этого элемента равен r, а наружный
Диск равного сопротивления.
Получено, что, изменение напряжений и вдоль радиуса диска постоянной толщины весь
Формула Эйлера для определения критической силы.
Для нахождения критических напряжений надо вычислить критическую силу , т. е. наи
Влияние способа закрепления концов стержня.
Формула Эйлера была получена путем интегрирования приближенного дифференциального уравнения изогнутой оси стержня при определенном закреплении его концов (шарнирно-опертых). Значит, найденное выраж
Проверка сжатых стержней на устойчивость.
Ранее было отмечено, что для сжатых стержней должны быть произведены две проверки:
на прочность
на устойчивость
Основные характеристики цикла и предел усталости
Рассмотрим вначале случай одноосного напряженного состояния.
Закон изменения главного напряжения о во времени представлен кривой, показанной на рис. 6.
Наибольшее
Влияние состояния поверхности и размеров детали на усталостную прочность
Так как при циклических напряжениях начало разрушения связано с образованием местной трещины, понятна та роль, которую играет в усталостной прочности детали состояние ее поверхности. Совершенно оче
Коэффициент запаса усталостной прочности и его определение
Построим диаграмму усталостной прочности и нанесем на ней рабочую точку цикла. Диаграмма строится, как это было показано выше, на основе заданных механических характеристик материала
Постановка задачи. Явление Резонанса.
До сих пор мы решали основную задачу сопротивления материалов, определяли размеры поперечных сечений частей конструкции и выбирали для них материал лишь при статическом действии нагрузок.
Влияние резонанса на величину напряжений.
Если на балке расположена машина с вращающимся грузом, имеющим эксцентриситет по отношению к оси вращения (Рис.1,). то
Вычисление напряжений при колебаниях.
Упругая система, выведенная каким-либо путем из равновесия, приходит в колебательное движение. Колебания происходят около положения упругого равновесия, при котором в нагруженной системе имели мест
Учет массы упругой системы при колебаниях.
Если колеблющаяся система, несущая груз Q, обладает довольно значительной распределенной массой (число степеней свободы, следовательно, велико), то упрощенные расчеты, будут иметь уже значит
Основные положения
Явление удара получается в том случае, когда скорость рассматриваемой части конструкции или соприкасающихся с ней частей изменяется в очень короткий период времени.
При забивке свай тяжелы
Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе.
Предположим, что очень жесткое тело А весом Q, деформацией которого можно пренебречь, падая с некоторой высоты H, ударяет по другому телу B, опирающемуся на упругую сист
Новости и инфо для студентов