Напряжения в сферических толстостенных сосудах. - раздел Образование, Введение и основные понятия. Метод сечений для определения внутренних усилий. Эпюры внутренних усилий при растяжении-сжатии и кручении На Фиг. 547 Изображен Элемент, Вырезанный Из Толщи Стенки Толстостенного Сфер...
На фиг. 547 изображен элемент, вырезанный из толщи стенки толстостенного сферического сосуда; внутренний радиус этого элемента равен r, а наружный ; напряжения, действующие на этот элемент, изображены на чертеже.
Составляя уравнения равновесия и совместности, получаем для и значения:
Постоянные А и В могут быть определены из условий на внутренней и внешней поверхностях сосуда при
и
соответственно, где и — наружный и внутренний радиусы.
Так, при действии внешнего и внутреннего давлений А и В определяются из условий:
на внутренней поверхности,
на внешней поверхности
Отсюда
Тогда
Лекция № 40. Расчет тонкостенных сосудов и резервуаров.
Если толщина стенок цилиндра мала по сравнению с радиусами и , то известное выражение для тангенцальных напряжений приобретает вид
т. е. величину, определенную нами раньше (§ 34).
Для тонкостенных резервуаров, имеющих форму поверхностей вращения и находящихся под внутренним давлением р, распределенным симметрично относительно оси вращения, можно вывести общую формулу для вычисления напряжений.
Выделим (Рис.1) из рассматриваемого резервуара элемент двумя смежными меридиональными сечениями и двумя сечениями, нормальными к меридиану.
Рис.1. Фрагмент тонкостенного резервуара и его напряженное состояние.
Размеры элемента по меридиану и по перпендикулярному к нему направлению обозначим соответственно и , радиусы кривизны меридиана и перпендикулярного к нему сечения обозначим и , толщину стенки назовем t.
По симметрии по граням выделенного элемента будут действовать только нормальные напряжения в меридиальном направления и в направлении, перпендикулярном к меридиану. Соответствующие усилия, приложенные к граням элемента, будут и . Так как тонкая оболочка сопротивляется только растяжению, подобно гибкой нити, то эти усилия будут направлены по касательной к меридиану и к сечению, нормальному к меридиану.
Усилия (Рис.2) дадут в нормальном к поверхности элемента направлении равнодействующую ab, равную
Подобным же образом усилия дадут в том же направлении равнодействующую Сумма этих усилий уравновешивает нормальное давление, приложенное к элементу
Отсюда
Это основное уравнение, связывающее напряжения и для тонкостенных сосудов вращения, дано Лапласом.
Так как мы задались распределением (равномерным) напряжений по толщине стенки, то задача статически определима; второе уравнение равновесия получится, если мы рассмотрим равновесие нижней, отрезанной каким-либо параллельным кругом, части резервуара.
Рассмотрим случай гидростатической нагрузки (рис.3). Меридиональную кривую отнесем к осям х и у с началом координат в вершине кривой. Сечение проведем на уровне у от точки О. Радиус соответствующего параллельного круга будет х.
Каждая пара усилий , действующих на диаметрально противоположные элементы проведенного сечения, дает вертикальную равнодействующую bс, равную
сумма этих усилий, действующих по всей окружности проведенного сечения, будет равна ; она будет уравновешивать давление жидкости на этом уровне плюс вес жидкости в отрезанной части сосуда .
Отсюда
Зная уравнение меридиональной кривой, можно найти , х и для каждого значения у, и стало быть, найти , а из уравнения Лапласа и
Например, для конического резервуара с углом при вершине , наполненного жидкостью с объемным весом у на высоту h, будем иметь:
тогда
Для сферического сосуда радиусом , находящегося под внутренним давлением , по симметрии ; тогда из уравнения (Лапласа), так как
и
Если меридиональная кривая будет иметь переломы с разрывом непрерывности угла , то равновесие тонкой оболочки у места перелома может быть обеспечено лишь наличием реакций, приложенных к оболочке по окружности в этом месте. Появление таких реакций обеспечивается устройством специальных колец, способных брать на себя усилия, возникающие в них в связи с неуравновешенностью напряжений по обе стороны точки перелома.
Лекция № 41. Расчет быстровращающегося диска
Значительный интерес представляет задача о напряжениях и деформациях в быстро вращающихся валах и дисках. Высокие скорости вращения валов паровых турбин обусловливают появление в валах и дисках значительных центробежных усилий. Вызванные ими напряжения распределяются симметрично относительно оси вращения диска.
Рассмотрим наиболее простую задачу о расчете диска постоянной толщины. Расчет такого диска положен в основу некоторых приближенных способов расчета дисков любого профиля. Воспользуемся некоторыми результатами, полученными при выводе формул для расчета толстостенных цилиндров. Предположим, что по толщине диска, принимаемой равной единице, напряжения и не меняются; осевое напряжение будем считать равным нулю.
Составим условия равновесия элемента АВ, выделенного из диска двумя меридиональными сечениями и двумя концентрическими цилиндрическими поверхностями (фиг. 586). В данном случае, кроме сил, действующих по граням элемента АВ, необходимо принять во внимание также и силу инерции
Рис.1. Расчетная схема вращающегося диска.
направленную вдоль радиуса от центра к внешнему контуру диска. Вместо ранее полученного уравнения равновесия получим:
(1)
Уравнение условий совместности деформаций также остаются в силе и для данной задачи, т. е.
(1)
Подставляя в это уравнение значение разности из (35.4), находим:
(2)
Дифференцируя уравнение (1) по r и подставляя в него вместо его значение из формулы (2), получаем линейное дифференциальное уравнение
или
Интегрируя это уравнение, находим:
(4)
Из (1) и (4) следует, что
(5)
В формулах (4) и (5) А и В — постоянные интегрирования, которые должны быть определены из условий на контуре диска. При определении постоянных рассмотрим два случая: 1) диск с отверстием в центре и 2) сплошной диск. При этом вначале предположим, что края диска свободны от внешних усилий.
Для диска с центральным отверстием напряжение должно быть равно нулю как при, так и при (рис.1). Эти условия на контуре при подстановке их в формулу (4) приводят к уравнениям:
и
откуда
и
Подставляя значения А и В в формулы (35.7) и (35.8), получаем:
Полагая для краткости можем написать:
и
можем написать:
Замечаем, что напряжение обращается в нуль при и , т. е. на внутреннем и наружном контурах диска; при значениях между 1 и напряжение положительно и, как нетрудно убедиться, достигает наибольшей величины при При этом
(6)
Напряжение при всех значениях также положительно и наибольшей величины достигает у внутреннего края диска, где :
(7)
Сравнивая выражения (6) и (7), убеждаемся, что всегда больше Поэтому при проверке прочности диска как по теории наибольших касательных напряжений, так и по энергетической теории условие прочности должно быть написано в таком виде:
Метод сечений для определения внутренних усилий... Эпюры внутренних усилий при растяжении сжатии и кручении... Эпюры внутренних усилий при прямом изгибе...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Напряжения в сферических толстостенных сосудах.
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
ЭПЮРЫ ВНУТРЕННИХ УСИЛИЙ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ-СЖАТИИ
Растяжением или сжатием называется такой простой вид сопротивления, при котором внешние силы приложены вдоль продольной оси бруса, а в поперечном сечении его возникает только нормальная сила.
ЭПЮРЫ ВНУТРЕННИХ УСИЛИЙ ПРИ КРУЧЕНИИ
Кручением называется простой вид сопротивления, при котором к брусу (валу) прикладываются внешние пары сил в плоскостях, совпадающих с поперечным сечением вала, а в последних возникает только внутр
НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ. ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ
Вектор напряженийpn является физическим объектом, имеющим длину, направление и точку приложения. В этом смысле он обладает векторными свойствами. Однако этому объекту присущи неко
ТЕНЗОР ДЕФОРМАЦИИ
Рассмотрим вначале случай плоской деформации (рис. 4). Пусть плоский элемент MNPQ перемещается в пределах плоскости и деформируется (изменяет форму и размеры). Координаты точек элемента до и
ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ УПРУГОЙ ДЕФОРМАЦИИ
Рассмотрим вначале элементарный объем dV=dxdydz в условиях одноосного напряженного состояния (рис. 1). Мысленно закрепим площадку х=0 (рис. 3). На противоположную площадку действует с
МЕХАНИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТЕЛ
В упругом состоянии деформации обратимы, и вся энергия, затраченная на деформирование, при разгрузке возвращается (диссипация энергии отсутствует). Для любого твердого тела процесс деформиро
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ
Согласно ГОСТ 27.002—89 «Надежность в технике. Термины и определения» надежность конструкции есть свойство сохранять во времени способность к выполнению требуемых функций в заданных режимах.
РАСЧЕТНЫЕ НАГРУЗКИ, КОЭФФИЦИЕНТЫ ЗАПАСА
Условие прочности (1) записано через напряжения, которые вычисляются через внешние нагрузки, приложенные к конструкции. Пусть внешние нагрузки определены с точностью до одного параметра S, а
ПОНЯТИЕ О КОНЦЕНТРАЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ, ПРИНЦИП СЕН-ВЕНАНА
Даже для призматического стержня равномерное распределение напряжений по поперечному сечению не всегда имеет место. Так, отклонения от равномерного распределения напряжений наблюдаются в окрестност
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЕФОРМАЦИЙ И ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Определим упругие деформации стержня предполагая, что изменение его длины при растяжении , называемое абсолютной продольной деформацией
Применение к статически определимым системам.
В предыдущем изложении методов расчета мы исходили из основного условия прочности . Это неравенство требует выбора размеров конструкции с та
Деформации при действии собственного веса.
При определении влияния собственного веса на деформацию при растяжении и сжатии стержней придется учесть, что относительное удлинение различных участков стержня будет переменным, как и напряжение
Общий способ вычисления моментов инерции сложных сечений.
При проверке прочности частей конструкций нам приходится встречаться с сечениями довольно сложной формы, для которых нельзя вычислить момент инерции таким простым путем, каким мы пользовались для п
Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции.
Как известно, центральные моменты инерции являются наименьшими из всех моментов относительно ряда параллельных осей.
Найдем теперь крайние значения (максимум и минимум) для центральных мом
РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФОРМЫ ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ ПРИ ИЗГИБЕ
Наиболее рациональным следует признать сечение, обладающее минимальной площадью при заданной нагрузке (изгибающем моменте) на балку. В этом случае расход материала на изготовление балки, будет мини
ПОНЯТИЕ О СОСТАВНЫХ БАЛКАХ
Работу составных балок проиллюстрируем на простом примере трехслойной балки прямоугольного поперечного сечения. Если слои между собой не связаны и силы трения между ними отсутствуют, то каждый из н
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОГО ИЗГИБА ПРИЗМАТИЧЕСКОГО СТЕРЖНЯ
Определено, что мерой деформации призматического стержня при прямом чистом изгибе является кривизна нейтрального слоя. Можно показать, что с достаточной для инженерных расчетов точностью этим тезис
Понятие о сдвиге. Расчет заклепок на перерезывание.
Мы изучали, что при простом растяжении или простом сжатии две части стержня, разделенные наклонным сечением, стремятся не только оторваться друг от друга, но и сдвинуться одна относит
Изгиб балки при действии продольных и поперечных сил.
На практике очень часто встречаются случаи совместной работы стержня на изгиб и на растяжение или сжатие. Подобного рода деформация может вызываться или совместным действием на балку продольных и п
Внецентренное сжатие или растяжение.
Вторым практически важным случаем сложения деформаций от изгиба и от продольных сил является так называемое внецентренное сжатие или растяжение, вызываемое одними продольными силами. Этот вид дефор
Примем следующий порядок расчета.
1. Разлагаем все внешние силы на составляющие
P1x, P2x,..., Pnx и P1y, P2y,..., Pny.
2. Строим эпюры изгиб
Подбор сечений балок равного сопротивления.
Все предыдущие расчеты относились к балкам постоянного сечения. На практике мы имеем часто дело с балками, поперечные размеры которых меняются по длине либо постепенно, либо резко.
Ниже ра
Определение деформаций балок переменного сечения.
При определении прогибов и углов поворота для балок с переменным сечением надлежит иметь в виду, что жесткость такой балки является функцией от х. Поэтому дифференциальное уравнение изогнуто
Общие понятия.
К числу статически неопределимых балок может быть отнесена балка на упругом основании. Так называется балка, опирающаяся по всей своей длине (Рис.1) на упругое основание, оказывающее в каждой точке
Постановка задачи.
Кроме рассмотренных способов вычисления прогибов и углов поворота сечений балок существует более общий метод, пригодный для определения деформаций любых упругих конструкций. Он основан на применени
Вычисление потенциальной энергии.
При вычислении потенциальной энергии будем предполагать, что деформации не только материала, но и всей конструкции, следуя закону Гука, пропорциональны нагрузкам, т. е. линейно с ними связан
Теорема Максвелла—Мора.
Прогиб балки в точке приложения сосредоточенной силы Р равен:
аналогичное выражение мы имеем и для угла поворота
Метод Верещагина.
Способ Максвелла — Мора в значительной степени вытеснил на практике непосредственное применение теоремы Кастильяно. В справочниках обычно приводятся таблицы интегралов
Общие понятия и метод расчета.
До сих пор мы рассматривали только статически определимые балки, у которых три опорные реакции определялись из условий равновесия. Очень часто, по условиям работы конструкции, оказывается необходим
Способ сравнения деформаций.
Выполняя решение уравнения , названного уравнением совместности деформаций, можно рассуждать следующим образом.
Прогиб точки В
Выбор лишней неизвестной и основной системы.
В предыдущем примере мы выбрали за лишнюю неизвестную реакцию В. Мы могли бы выбрать и момент . Соответственно изменилась бы основна
Общий план решения статически неопределимой задачи.
Таким образом, общий метод решения, статически неопределимых задач распадается на ряд отдельных этапов.
В дух предыдущих лекциях приведены два варианта решения задачи: с лишней реакцией
Определение деформаций статически неопределимых балок.
После того, как определены опорные реакции, построены эпюры изгибающих моментов и поперечных сил, подобраны сечения статически неопределимой балки, определение ее деформаций ничем- не отличается от
Влияние способа закрепления концов стержня.
Формула Эйлера была получена путем интегрирования приближенного дифференциального уравнения изогнутой оси стержня при определенном закреплении его концов (шарнирно-опертых). Значит, найденное выраж
Основные характеристики цикла и предел усталости
Рассмотрим вначале случай одноосного напряженного состояния.
Закон изменения главного напряжения о во времени представлен кривой, показанной на рис. 6.
Наибольшее
Коэффициент запаса усталостной прочности и его определение
Построим диаграмму усталостной прочности и нанесем на ней рабочую точку цикла. Диаграмма строится, как это было показано выше, на основе заданных механических характеристик материала
Постановка задачи. Явление Резонанса.
До сих пор мы решали основную задачу сопротивления материалов, определяли размеры поперечных сечений частей конструкции и выбирали для них материал лишь при статическом действии нагрузок.
Вычисление напряжений при колебаниях.
Упругая система, выведенная каким-либо путем из равновесия, приходит в колебательное движение. Колебания происходят около положения упругого равновесия, при котором в нагруженной системе имели мест
Учет массы упругой системы при колебаниях.
Если колеблющаяся система, несущая груз Q, обладает довольно значительной распределенной массой (число степеней свободы, следовательно, велико), то упрощенные расчеты, будут иметь уже значит
Основные положения
Явление удара получается в том случае, когда скорость рассматриваемой части конструкции или соприкасающихся с ней частей изменяется в очень короткий период времени.
При забивке свай тяжелы
Новости и инфо для студентов