Введение и основные понятия. Метод сечений для определения внутренних усилий. Эпюры внутренних усилий при растяжении-сжатии и кручении

1. Введение и основные понятия

2. Метод сечений для определения внутренних усилий

3. Эпюры внутренних усилий при растяжении-сжатии и кручении

4. Эпюры внутренних усилий при прямом изгибе

5. Понятие о напряжениях и деформациях

6. Свойства тензора напряжений. Главные напряжения

7. Плоское напряженное состояние

8. Упругость и пластичность. Закон Гука

9. Механические характеристики конструкционных материалов

10. Влияние различных факторов на механические характеристики материалов

11. Основные понятия теории надежности конструкций

12. Прочность и перемещения при центральном растяжении или сжатии

13. Расчет статически неопределимых систем по допускаемым нагрузкам

14. Учет собственного веса при растяжении и сжатии.

15. Расчет гибких нитей

16. Геометрические характеристики плоских сечений

17. Моменты инерции относительно параллельных осей

18. Главные оси инерции и главные моменты инерции

19. Прямой чистый изгиб стержня

20. Прямой поперечный изгиб стержня

21. Составные балки и перемещения при изгибе

22. Напряжения и деформации при кручении стержней кругового поперечного сечения

23. Практические примеры расчета на сдвиг. Заклепочные соединения

24. Расчет заклепок на смятие и листов на разрыв

25. Расчет сварных соединений

26. Косой изгиб призматического стержня

27. Совместное действие изгиба и растяжения или сжатия

28. Ядро сечения при внецентренном сжатии

29. Совместные действия изгиба и кручения призматического стержня

30. Расчет балок переменного сечения

31. Расчет балки на упругом основании

32. Энергетические методы расчета деформаций

33. Теорема Кастильяно

34. Теоремы о взаимности работ и максвелла — мора

35. Расчет статически неопределимых балок. Способ сравнения деформаций

36. Применение вариационных методов

37. Расчет статически неопределимых стержневых систем

38. Метод сил

39. Расчет толстостенных цилиндров

40. Расчет тонкостенных сосудов и резервуаров

41. Расчет быстровращающегося диска

42. Устойчивость сжатых стержней. Формула Эйлера

43. Анализ формулы Эйлера

44. Пределы применимости формулы Эйлера

45. Прочность при циклически изменяющихся напряжениях

46. Диаграмма усталостной прочности

47. Расчет коэффициентов запаса усталостной прочности

48. Основы вибропрочности конструкций

49. Расчет динамического коэффициента при ударной нагрузке

50. Оценка прочности при ударной нагрузке

Лекция № 1. Введение и основные понятия

Сопротивление материалов – наука о прочности, жесткости и надежности элементов инженерных конструкций. Методами сопротивления материалов ведутся практические расчеты и определяются необходимые, как говорят, надежные размеры деталей машин, различных конструкций и сооружений.
Основные понятия сопротивления материалов опираются на законы и теоремы общей механики и в первую очередь на законы статики, без знания которых изучение данного предмета становится практически невозможным.
В отличие от теоретической механики сопротивление материалов рассматривает задачи, где наиболее существенными являются свойства деформируемых тел, а законы движения тела, как жесткого целого, не только отступают на второй план, но в ряде случаев являются попросту несущественными.
Сопротивление материалов имеет целью создать практически приемлемые простые приемы расчета типичных, наиболее часто встречающихся элементов конструкций. Необходимость довести решение каждой практической задачи до некоторого числового результата заставляет в ряде случаев прибегать к упрощающим гипотезам – предположениям, которые оправдываются в дальнейшем путем сопоставления расчетных данных с экспериментом.
Необходимо отметить, что первые заметки о прочности упоминаются в записках известного художника ЛЕОНАРДО Де ВИНЧИ, а начало науки о сопротивлении материалов связывают с именем знаменитого физика, математика и астронома ГАЛИЛЕО ГАЛИЛЕЯ. В 1660 году Р.ГУК сформулировал закон, устанавливающий связь между нагрузкой и деформацией: «Какова сила – таково и действие». В XVIII веке необходимо отметить работы Л.ЭЙЛЕРА по устойчивости конструкций. XIX – XX века являются временем наиболее интенсивного развития науки в связи с общим бурным ростом строительства и промышленного производства при безусловно огромном вкладе ученых-механиков России.
Итак, мы будем заниматься твердыми деформированными телами с изучением их физических свойств.

Введем основные понятия, принимаемые при изучении дисциплины.

Прочность – это способность конструкции выдерживать заданную нагрузку, не разрушаясь.

Жесткость – способность конструкции к деформированию в соответствие с заданным нормативным регламентом.

Деформирование – свойство конструкции изменять свои геометрические размеры и форму под действием внешних сил

Устойчивость – свойство конструкции сохранять при действии внешних сил заданную форму равновесия.

Надежность – свойство конструкции выполнять заданные функции, сохраняя свои эксплуатационные показатели в определенных нормативных пределах в течение требуемого промежутка времени.

Ресурс – допустимый срок службы изделия. Указывается в виде общего времени наработки или числа циклов нагружения конструкции.

Отказ – нарушение работоспособности конструкции.

Опираясь на вышесказанное, можно дать определение прочностной надежности.

Прочностной надежностью называется отсутствие отказов, связанных с разрушением или недопустимыми деформациями элементов конструкции.

На рис.1 приведена структура модели прочностной надежности. Она включает известные модели или ограничения, которые априорно накладываются на свойства материалов, геометрию, формы изделия, способы нагружения, а также модель разрушения. Инженерные модели сплошной среды рассматривают материал как сплошное и однородное тело, наделенное свойством однородности структуры. Модель материала наделяется свойствами упругости, пластичности и ползучести.

Рис.1. Структура модели прочностной надежности элементов конструкций

Упругостью называется свойство тела восстанавливать свою форму после снятия внешних нагрузок.

Пластичностью называется свойство тела сохранять после прекращения действия нагрузки, или частично полученную при нагружении, деформацию.

Ползучестью называется свойство тела увеличивать деформацию при постоянных внешних нагрузках.

Основными моделями формы в моделях прочностной надежности, как известно, являются: стержни, пластины, оболочки и пространственные тела (массивы), рис.2. Модели

Рис.2. Основные модели формы в моделях прочностной надежности: а) стержень, б) пластина, в) оболочка

 

нагружения содержат схематизацию внешних нагрузок по величине, характеру распределения (сосредоточенная или распределенная сила или момент), а также воздействию внешних полей и сред.

Внешние силы, действующие на элемент конструкции, подразделяются на 3 группы: 1) сосредоточенные силы, 2) распределенные силы, 3) объемные или массовые силы.

Сосредоточенные силы — силы, действующие на небольших участках поверхности детали (например давление шарика шарикоподшипника на вал, давление колеса на рельсы и т.п.)

Распределенные силы приложены значительным участкам поверхности (например давление пара в паропроводе, трубопроводе, котле, давление воздуха на крыло самолета и т.д.

Объемные или массовые силы приложены каждой частице материала (например силы тяжести, силы инерции)

После обоснованного выбора моделей формы, материала, нагружения переходят к непосредственной оценке надежности с помощью моделей разрушения. Модели разрушения представляют собой уравнения, связывающие параметры работоспособности элемента конструкции в момент разрушения с параметрами, обеспечивающими прочность. Эти уравнения (условия) называют условиями прочности. Обычно рассматриваются в зависимости от условий нагружения четыре модели разрушения:

• статического разрушения,
• длительно статического разрушения,
• малоциклового статического разрушения,
• усталостного разрушения.

При малом числе циклов (N<10²) развиваются значительные пластические деформации (статическое разрушение), при большом числе циклов (N>10⁵) пластические деформации отсутствуют (усталостное разрушение). В промежуточной области (10²<N<10⁵) разрушение носит смешанный характер (малоцикловое разрушение). Если на элемент конструкции действует высокая температура (для алюминиевых сплавов свыше 200 C^o, для стальных и титановых сплавов свыше 400 C^o, для жаропрочных сплавов свыше 600 C^o), но в этом случае рассматривается так называемая длительная прочность материала.
Таким образом, сопротивление материалов зависит не только от величин действующего усилия, но и от длительности самого воздействия.
Как уже отмечалось, изучение дисциплины невозможно без знания основ теоретической механики. Поэтому свой остаточный ресурс знаний рекомендую проверить по разделу «Статика», используя систему входных тестов.
Поскольку изучение сопротивления материалов базируется прежде всего на таких известных понятиях как сила, пара сил, связи, реакции в связях, равнодействующая система внешних сил, то…

Вам рекомендуется решить простые задачи — входные тесты.

Лекция № 2. Метод сечений для определения внутренних усилий

Деформации рассматриваемого тела (элементов конструкции) возникают от приложения внешней силы. При этом изменяются расстояния между частицами тела, что в свою очередь приводит к изменению сил взаимного притяжения между ними. Отсюда, как следствие, возникают внутренние усилия. При этом внутренние усилия определяются универсальным методом сечений (или метод разреза).

Известно, что различают силы внешние и силы внутренние. Внешние усилия (нагрузки) – это количественная мера взаимодействия двух различных тел. К ним относятся и реакции в связях. Внутренние усилия – это количественная мера взаимодействия двух частей одного тела, расположенных по разные стороны сечения и вызванные действием внешних усилий. Внутренние усилия возникают непосредственно в деформируемом теле.

На рис.1 приведена расчетная схема бруса с произвольной комбинацией внешней нагрузки образующую равновесную систему сил:

(1)

 

Сверху вниз: упругое тело, левая отсеченная часть, правая отсеченная часть
Рис.1. Метод сечений.

При этом, реакции связей определяются из известных уравнений равновесия статики твердого тела:

	(2)

где х₀, у₀, z₀ — базовая система координат осей.

Мысленное разрезание бруса на две части произвольным сечением А (рис.1 a), приводит к условиям равновесия каждой из двух отсеченных частей (рис.1 б,в). Здесь {S’} и {S"}- внутренние усилия, возникающих соответственно в левой и правой отсеченных частях вследствие действия внешних усилий.

При составлении мысленно отсеченных частей, условие равновесия тела обеспечивается соотношением:

Так как исходная система внешних сил (1) эквивалентна нулю, получаем:

{S^’} = – {S^”} (3)

Это условие соответствует четвертой аксиоме статики о равенстве сил действия и противодействия.

Используя общую методологию теоремыПуансо о приведении произвольной системы сил к заданному центру и выбрав за полюс приведения центр масс, сечения А^', точку С^', систему внутренних усилий для левой части {S^’} сводим к главному вектору и главному моменту внутренних усилий. Аналогично делается для правой отсеченной части, где положение центра масс сечения А”; определяется, соответственно, точкой С" (рис.1 б,в).

{S’} ~ {R’,L’0}; {S"} ~ { R”,L”0},

(4)

Здесь в соответствие с четвертой аксиомой статики по-прежнему имеют место следующие соотношения:

R’ = – R”	(5)
L’0 = – L”0

Таким образом главный вектор и главный момент системы внутренних усилий, возникающие в левой, условно отсеченной части бруса, равны по величине и противоположны по направлению главному вектору и главному моменту системы внутренних усилий, возникающих в правой условно отсеченной части.

График (эпюра) распределения численных значений главного вектора и главного момента вдоль продольной оси бруса и предопределяют, прежде всего, конкретные вопросы прочности, жесткости и надежности конструкций.

Определим механизм формирования компонент внутренних усилий, которые характеризуют простые виды сопротивлений: растяжение-сжатие, сдвиг, кручение и изгиб.

В центрах масс исследуемых сечений С' или С" зададимся соответственно левой (с', х', у', z') или правой (с", х", у", z”) системами координатных осей (рис.1 б, в), которые в отличие от базовой системы координат x, у, z будем называть "следящими". Термин обусловлен их функциональным назначением. А именно: отслеживание изменения положения сечения А (рис.1 а) при условном смещении его вдоль продольной оси бруса, например при: 0 х’₁ а, а x’₂ b и т.д., где а и b — линейные размеры границ исследуемых участков бруса.

Зададимся положительными направлениями проекций главного вектора или и главного момента или на координатные оси следящей системы (рис.1 б, в):

{N’, Q’y, Q’z} {M’x, M’y, M’z}	(6)
{N”, Q”y, Q”z} {M”x, M”y, M”z}

При этом положительные направления проекций главного вектора и главного момента внутренних усилий на оси следящей системы координат соответствуют правилам статики в теоретической механике: для силы — вдоль положительного направления оси, для момента — против вращения часовой стрелки при наблюдении со стороны конца оси. Они классифицируются следующим образом:

N_x — нормальная сила, признак центрального растяжения или сжатия;

М_x — внутренний крутящий момент, возникает при кручении;

Q_z, Q_у — поперечные или перерезывающие силы – признак сдвиговых деформаций,

М_у, М_z — внутренние изгибающие моменты, соответствуют изгибу.

Соединение левой и правой мысленно отсеченных частей бруса приводит к известному (3) принципу равенства по модулю и противоположной направленности всех одноименных компонент внутренних усилий, а условие равновесии бруса определяется в виде:

{P1, P2, P3, …, N’, N”, Q’y, Q”y, Q’z, Q”z, M’x, M”x,
M’y, M”y, M’z, M”z, …, Pn-1, Pn} ~ 0	(7)

С учетом эквивалентности нулю исходной системы сил (1) имеет место:

{N’, N”, Q’y, Q”y, Q’z, Q”z, М’x, M”x, M’y, M”y, М’z, M”z}~0

(8)

Как естественное следствие из соотношений 3,4,5 полученное условие является необходимым для того, чтобы одноименные компоненты внутренних усилий попарно образовали подсистемы сил эквивалентные нулю:

1. {N’, N”} ~ 0 > N’ = – N”	(9)
2. {Q’y, Q”y} ~ 0 > Q’y = – Q”y
3. {Q’z, Q”z} ~ 0 > Q’z = – Q”z
4. {М’x, M”x} ~ 0 > М’x = – M”x
5. {M’y, M”y} ~ 0 > M’y = – M”y
6. {М’z, M”z} ~ 0 > М’z = – M”z

Общее число внутренних усилий (шесть) в статически определимых задачах совпадает с количеством уравнений равновесия для пространственной системы сил и связано с числом возможных взаимных перемещений одной условно отсеченной части тела по отношению к другой.

Искомые усилия определяются из соответствующих уравнений для любой из отсеченных частей в следящей системе координатных осей. Так, для любой отсеченной части соответствующие уравнения равновесия приобретают вид;

1. ix = N + P1x + P2x + … + Pkx = 0 > N	(10)
2. iy = Qy + P1y + P2y + … + Pky = 0 > Qy
3. iz = Q + P1z + P2z + … + Pkz = 0 > Qz
4. x (Pi) = Mx + Mx(Pi) + … + Mx(Pk) = 0 > Mx
5. y (Pi) = My + My(Pi) + … + My(Pk) = 0 > My
6. z (Pi) = Mz + Mz(Pi) + … + Mz(Pk) = 0 > Mz

Здесь для простоты обозначений системы координат с' х' у' z' и с" х" у" т" заменены единой оxуz.

Уважаемые коллеги! Таким образом, предлагаемый автором метод построения эпюр внутренних усилий, освобождающий Вас от механического запоминания "правил знаков" при построении эпюр внутренних усилий, заключается в следующем:

1. Определите реакции в связях по величине и направлению в базовой системе координат.
2. Определите количество участков бруса для использования метода сечений.
3. Мысленно рассеките брус в пределах исследуемого участка и изобразите на Ваше усмотрение левую или правую условно отсеченную часть.
4. Укажите пределы изменения положения сечения вдоль продольной оси в базовой системе координат на этом участке.
5. Введите в искомом сечении соответственно левую или правую следящую систему координатных осей.
6. Задайтесь положительными направлениями внутренних усилий в следящей системе координат.
7. Составьте уравнения равновесия для рассматриваемой условно отсеченной части бруса в следящей системе координат.
8. Определите из уравнений равновесия искомые внутренние усилия.
9. Вычислите искомые внутренние усилия на границах участков и при необходимости, — их экстремальные значения.
10. Выбрав масштаб усилий, выполните построение эпюры в соответствие с полученными их модульными значениями и знаками.

Указанная последовательность действий (кроме п.1) составляет суть метода сечений (разреза), единственного метода для определения внутренних усилий.
Не забываем, что при распределенной нагрузке в соответствие с теоремойВариньона векторный момент равнодействующей рассматриваемой системы сил относительно любой точки равен сумме векторных моментов всех сил этой системы относительно той же точки.
Эпюры внутренних усилий позволяет визуально найти положение опасного сечения, где действуют наибольшие по модулю внутренние усилия. В этом сечении при прочих равных условиях наиболее вероятно разрушение конструкции при предельных нагрузках.

Лекция № 3. Эпюры внутренних усилий при растяжении-сжатии и кручении

ЭПЮРЫ ВНУТРЕННИХ УСИЛИЙ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ-СЖАТИИ

Рассмотрим расчетную схему бруса постоянного поперечного сечения с заданной внешней сосредоточенной нагрузкой Р и распределенной q, (рис.1). а) расчетная схема, б) первый участок, левая отсеченная часть, в) второй участок, левая отсеченная часть, г) второй…

ЭПЮРЫ ВНУТРЕННИХ УСИЛИЙ ПРИ КРУЧЕНИИ

Рассмотрим расчетную схему вала, нагруженного двумя сосредоточенными моментами М и 2М и распределенными по длине: m, рис.2. Методика построения эпюры аналогична только что рассмотренной методике при…

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ ВНУТРЕННИМИ УСИЛИЯМИ ПРИ ИЗГИБЕ

Рис.2. Схема изгиба балки: а) расчетная модель, б) фрагмент балки  

НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ. ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ

Проведем через точку М три взаимно перпендикулярных плоскости с векторами нормалей, направления которых совпадают с направлениями координатных осей.… Разложим каждый вектор напряжений на составляющие вдоль координатных осей…

ТЕНЗОР ДЕФОРМАЦИИ

Рис.4. Плоская деформация.  

ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ УПРУГОЙ ДЕФОРМАЦИИ

 

МЕХАНИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТЕЛ

Вязкое сопротивление — в некотором смысле противоположно упругому — работа внешних сил, уравновешенных силами вязкого сопротивления, полностью… Представление о вязкоупругой деформации дает поведение моделей, сочетающих… Наиболее распространенными в теории линейной вязко-упругости являются реологические модели Максвелла и Фойгта, дающие…

ДИАГРАММЫ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ КОНСТРУКЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ

Если напряжения не превышают — предела пропорциональности (точка / на диаграмме), и зависимость между напряжениями и деформациями линейна, то она…  

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ

Основной особенностью реальных условий эксплуатации машин и конструкций является случайный характер взаимодействия с окружающей средой. Это… В случае одномерного напряженного состояния (1) напряжение , зависящее от внешних нагрузок, при определенных условиях может принять довольно большое значение, а…

РАСЧЕТНЫЕ НАГРУЗКИ, КОЭФФИЦИЕНТЫ ЗАПАСА

. Тогда условие прочности (1) можно записать через внешние нагрузки S… Здесь через R обозначено предельное значение нагрузки, т.е. такое ее значение, которое приводит к предельному…

РАСЧЕТЫ ПО ДОПУСКАЕМЫМ НАГРУЗКАМ И ПО ДОПУСКАЕМЫМ НАПРЯЖЕНИЯМ

RP = [R] = <R> = R, а уравнение (7) позволяет получить выражение нормативной или допускаемой… [S] = R / [n].

НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ (СЖАТИИ) ПРИЗМАТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ. РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ

Напомним, что под растяжением (сжатием) понимают такой вид деформации стержня, при котором в его поперечном сечении возникает лишь один внутренний… Рис.1. Расчетная схема Рис.2. а) Растяжение и б) сжатие …  

ПОНЯТИЕ О КОНЦЕНТРАЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ, ПРИНЦИП СЕН-ВЕНАНА

Поясним это явление на примере подверженной растяжению полосы из податливого материала с круговым отверстием, на поверхности которой нанесены…  

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЕФОРМАЦИЙ И ПЕРЕМЕЩЕНИЙ

Учитывая, что согласно закону Гука для одноосного растяжения (сжатия) ,

Применение к статически определимым системам.

Но можно стать на другую точку зрения. Можно задать условие, чтобы действительная нагрузка на всю конструкцию не превосходила некоторой допускаемой… За допускаемую нагрузку надо выбрать некоторую часть той нагрузки, при которой конструкция перестанет функционировать…

Расчет статически неопределимых систем по способу допускаемых нагрузок.

В качестве примера рассмотрим систему из трех стержней, нагруженных силой Q (рис. 2). Пусть все стержни сделаны из малоуглеродистой стали с пределом… Рис.2. Расчетная схема однократно статически неопределимой стержневой системы.

Подбор сечений с учетом собственного веса (при растяжении и сжатии).

Пусть вертикальный стержень (Рис.1, а) закреплен своим верхним концом; к нижнему его концу подвешен груз Р. Длина стержня l, площадь поперечного… а) б)

Деформации при действии собственного веса.

Рис.4. Расчетная модель бруса с учетом собственного веса.  

Вычисление моментов инерции и моментов сопротивления для простейших сечений.

Здесь — расстояние элементарной площадки dF от нейтральной оси; суммирование охватывает всю площадь сечения. Покажем в качестве примера вычисление… Площадки dF, на которые следует разбить всю площадь сечения, выберем в виде…

Общий способ вычисления моментов инерции сложных сечений.

Таким сечением может быть, например, тавр (Рис.5 а) кольцевое сечение трубы, работающей на изгиб (авиационные конструкции) (Рис.5, б), кольцевое… Рис.5. Сечения типа тавр — а) и кольцо б)

Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции.

Найдем теперь крайние значения (максимум и минимум) для центральных моментов инерции. Возьмем ось , и начнем ее вращать, т. е. менять угол ; при… Наибольшее и наименьшее значения этого момента инерции соответствуют углу , при котором производная обращается в нуль.…

РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФОРМЫ ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ ПРИ ИЗГИБЕ

Поэтому для балки из пластичного материала (одинаково работающего на растяжение и сжатие: ), условие равнопрочности выполняется для сечений,… Рис.9. Распределение нормальных напряжений в симметричных сечениях

ПОНЯТИЕ О СОСТАВНЫХ БАЛКАХ

Если скрепить балки сваркой, болтами или другим способом (рис. 1, б), то с…

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОГО ИЗГИБА ПРИЗМАТИЧЕСКОГО СТЕРЖНЯ

Тогда возникает геометрическая задача: составить уравнение для функции прогиба , зная закон изменения ее кривизны. Рис.2. Расчетная схема определения перемещений при изгибе

Понятие о сдвиге. Расчет заклепок на перерезывание.

На практике целый ряд деталей и элементов конструкций работает в таких условиях, что внешние силы стремятся их разрушить именно путем сдвига. В соответствии с этим при проверке прочности таких элементов на первый план… Для изучения работы заклепок рассмотрим простейший пример заклепочного соединения (Рис.1). Шесть заклепок,…

Изгиб балки при действии продольных и поперечных сил.

Первый случай изображен на Рис.1. На балку АВ действуют равномерно распределенная нагрузка q и продольные сжимающие силы Р. Рис.1. Совместное действие изгиба и сжатия.

Внецентренное сжатие или растяжение.

Рассмотрим сначала случай внецентренного сжатия, как имеющий большее практическое значение. Нашей задачей явится нахождение наибольших напряжений, материале стержня и… Силы Р, зачеркнутые один раз, вызовут осевое сжатие, а пары сил Р, зачеркнутые дважды, вызовут чистый изгиб моментами…

Примем следующий порядок расчета.

P1x, P2x,..., Pnx и P1y, P2y,..., Pny. 2. Строим эпюры изгибающих моментов My и My. от этих групп сил. У кругового и кольцевого поперечного сечений все центральные оси главные, поэтому косого изгиба у вала вообще не может…

Подбор сечений балок равного сопротивления.

Ниже рассмотрено несколько примеров подбора сечения и определения деформаций балок переменного профиля. Так как изгибающие моменты обычно меняются по длине балки то, подбирая ее… Условие, определяющее форму такой балки, имеет вид

Определение деформаций балок переменного сечения.

где J(x) — переменный момент инерции сечений балки. До интегрирования этого уравнения можно выразить J(x) надлежащей подстановкой через J, т. е. через момент инерции…

Общие понятия.

Введение предположения о пропорциональности реакций прогибу является приближением, хотя и достаточно близким к действительным условиям. Рис.1. Расчетная схема балки на упругом основании.

Расчет бесконечно длинной балки на упругом основании, загруженной одной силой Р.

Рис.2. Расчетная схема балки бесконечной длины.  

Постановка задачи.

При статическом растяжении или сжатии упругого стержня происходит превращение потенциальной энергии из одного вида в другой; часть потенциальной… Это явление имеет место при любом виде деформации всякой упругой конструкции… Мы условились называть «статической» такую нагрузку, которая возрастает постепенно и таким образом, что ускорениями…

Вычисление потенциальной энергии.

Известно, что при статическом растяжении или сжатии стержня силами Р величина работы , а следовательно, и величина энергии U равняется: В случае сдвига

Расчетная модель к теореме Кастильяно.

Изменение dU потенциальной энергии деформации, являющейся функцией сил , ,…

Примеры приложения теоремы Кастильяно.

Определим (Рис.4) прогиб свободного конца В балки, защемленной другим концом А. Балка нагружена сосредоточенной силой, приложенной в точке В. В данном случае возможно непосредственное применение теоремы Кастильяно, так как отыскивается прогиб сечения, где приложена сосредоточенная сила Р

Рис.4. Пример расчетной схемы для расчета перемещений.

 

Начало отсчета абсциссы х сечения можно выбирать произвольно, лишь бы формула для М (х) была возможно проще. Отсчитывая х от точки В, получаем для момента в любом сечении балки

и

Подставляя эти значения в формулу для и интегрируя, чтобы охватить всю длину балки от 0 до l, получаем:

Лекция № 34. Теоремы о взаимности работ и Максвелла — Мора.

Пользуясь понятием о потенциальной энергии, можно установить следующую зависимость между деформациями в различных сечениях балки.

Если к балке, нагруженной силой приложить затем статически силу в сечении 2, то к прогибу точки приложения силы от этой же силы прибавится (Рис.1) прогиб от силы , равный ; первый значок у буквы у указывает точку, для которой вычисляется прогиб; второй — обозначает силу, вызывающую этот прогиб.

Рис.1. Расчетная схема к теореме о взаимности работ

 

Полная работа внешних сил составится из трех частей: работы силы на вызванном ею прогибе , т. е. , работы силы на вызванном ею прогибе ее точки приложения , т. е. , наконец, работы силы на прогибе ее точки приложения от силы , т. е. .

Таким образом, накопленная в стержне при действии обеих сил энергия будет равна:

Это количество энергии деформации зависит лишь от конечных значений сил и прогибов и не зависит от порядка нагружения.

Если к балке, загруженной силой , приложить затем силу то, повторив цепь вычислений, получим:

Сравнивая оба значения U, получаем:

т. е. работа силы (или первой группы сил) на перемещениях, вызванных силой (второй группой сил), равна работе силы на перемещениях, вызванных силой .

Это и есть теорема о взаимности работ. Ее можно сформулировать и иначе: работа первой силы () при действии второй () равна работе второй силы при действии первой.

 

Теорема Максвелла—Мора.

аналогичное выражение мы имеем и для угла поворота с заменой производной на .… Если на балке расположена какая угодно нагрузка из сосредоточенных сил , , ,..., моментов , ,..., сплошных нагрузок…

Метод Верещагина.

Наш соотечественник А. Н. Верещагин в 1924 г. предложил упрощение вычислений. Так как единичной нагрузкой бывает обычно либо сосредоточенная сила,… Так как ордината равна , то произведение , а весь интеграл представляет собой…

Общие понятия и метод расчета.

Рис.1. Схемы статически неопределимых балок  

Способ сравнения деформаций.

Прогиб точки В основной системы под действием нагрузок q и В складывается из двух прогибов: одного , вызванного лишь нагрузкой q, и другого ,… Остается вычислить эти прогибы. Для этого загрузим основную систему одной…

Выбор лишней неизвестной и основной системы.

Основной системой будет балка, изображенная на Рис.3, б. Загрузим ее внешней нагрузкой и опорным моментом (фиг. 363, в). Чтобы эти балки работали одинаково, надо для балки Рис.3, в написать…

Общий план решения статически неопределимой задачи.

В дух предыдущих лекциях приведены два варианта решения задачи: с лишней реакцией В и с лишней реакцией . Для развертывания добавочного условия даны… Если бы число реакций статически неопределимой балки было нe четыре, как в… Следовательно, общий метод определения добавочных опорных реакций в статически неопределимых балках основан на том,…

Определение деформаций статически неопределимых балок.

Необходимо лишь отметить, что в этом случае мы будем иметь избыточное число уравнений для определения постоянных интегрирования. Этот избыток равен… Интегрируем: (а) (b)

Связи, накладываемые на систему. Степень статической неопределимости.

Под стержневой системой в широком смысле слова понимается всякая конструкция, состоящая из элементов, имеющих форму бруса. Если элементы конструкции… Рис.1. Расчетная схема формы

Напряжения в сферических толстостенных сосудах.

Рис.6. фрагмент сферического толстостенного сосуда.  

Диск равного сопротивления.

Основные формулы для расчета дисков переменной толщины по прежнему могут быть выведены из рассмотрения условий равновесия элемента диска abcd. Рис.2. Равновесие элемента диска равного сопротивления.

Формула Эйлера для определения критической силы.

Эту задачу впервые решил академик Петербургской Академии наук Л. Эйлер в 1744 году. Заметим, что самая постановка задачи иная, чем во всех ранее рассмотренных… Рассмотрим прямой стержень постоянного сечения, шарнирно опертый по концам; одна из опор допускает возможность…

Рис.1

 

Таким образом, поставленная задача решена; для нашего стержня наименьшая критическая сила определяется формулой

а изогнутая ось представляет синусоиду

Величина постоянной интегрирования а осталась неопределенной; физическое значение ее выяснится, если в уравнении синусоиды положить ; тогда (т. е. посредине длины стержня) получит значение:

Значит, а — это прогиб стержня в сечении посредине его длины. Так как при критическом значении силы Р равновесие изогнутого стержня возможно при различных отклонениях его от прямолинейной формы, лишь бы эти отклонения были малыми, то естественно, что прогиб f остался неопределенным.

Он должен быть при этом настолько малым, чтобы мы имели право применять приближенное дифференциальное уравнение изогнутой оси, т. е. чтобы было по прежнему мало по сравнению с единицей.

Получив значение критической силы, мы можем сейчас же найти и величину критического напряжения , разделив силу на площадь сечения стержня F; так как величина критической силы определялась из рассмотрения деформаций стержня, на которых местные ослабления площади сечения сказываются крайне слабо, то в формулу для входит момент инерции поэтому принято при вычислении критических напряжений, а также при составлении условия устойчивости вводить в расчет полную, а не ослабленную, площадь поперечного сечения стержня . Тогда

Таким образом, критическое напряжение для стержней данного материала обратно пропорционально квадрату отношения длины стержня к наименьшему радиусу инерции его поперечного сечения. Это отношение называется гибкостью стержня и играет весьма важную роль во всех проверках сжатых стержней на устойчивость.

Из последнего выражения видно видно, что критическое напряжение при тонких и длинных стержнях может быть весьма малым, ниже основного допускаемого напряжения на прочность . Так, для стали 3 с пределом прочности допускаемое напряжение может быть принято ; критическое же напряжение для стержня с гибкостью при модуле упругости материала будет равно

Таким образом, если бы площадь сжатого стержня с такой гибкостью была подобрана лишь по условию прочности, то стержень разрушился бы от потери устойчивости прямолинейной формы.

 

Влияние способа закрепления концов стержня.

Закрепление сжатого стержня с шарнирно-опертыми концами мы будем называть основным случаем закрепления. Другие виды закрепления будем приводить' к… Если повторить весь ход вывода для стержня, жестко защемленного одним концом и…  

Проверка сжатых стержней на устойчивость.

на прочность на устойчивость

Таблица.

Пример.

Подобрать двутавровое сечение стойки с одним защемленным концом, сжатой силами Р = 400 кН; длина стойки l=1,5 м. Основное допускаемое напряжение (Рис.3).

 

Рис.3. Расчетная схема сжатой стойки.

 

Так как в условии устойчивости нам не известно ни , ни , одной из этих величин необходимо задаться. Примем для первого приближения . В этом случае необходимая площадь поперечного сечения стержня будет равна

или

По сортаменту выбираем двутавр No 24, b с площадью . Наименьший радиус инерции сечения . Соответствующая гибкость стойки

Коэффициент по интерполяции между значениями его из таблицы для и равен . Расчетным напряжением будет:

Перенапряжение составляет. Подбираем двутавр No 27, а. ; ; наибольшая его гибкость . Так как коэффициент , то расчетное напряжение

Перенапряжение составляет теперь что допустимо.

Лекция № 45. Прочность при циклически изменяющихся напряжениях.

Многие детали машин в процессе работы испытывают напряжения, циклически меняющиеся во времени. Так, например ось вагона, вращающаяся вместе с колесами (рис. 1), находятся под действием периодически меняющихся сил и испытывает циклически изменяющиеся напряжения, хотя внешние силы сохраняют свою величину.

 

Рис.1. Расчетная схема оси вагона.

 

Для оси вагона на рис. 1 показана эпюра изгибающих моментов. В точке А поперечного сечения (рис. 2, а) имеем:

Расстояние y от точки А до нейтральной оси меняется во времени

где — угловая скорость вращения колеса.

Следовательно,

Таким образом, нормальное напряжение в сечениях оси меняется по синусоиде с амплитудой (рис. 2, б).

Рис.2. Изменение напряжения в точке А.

 

Опыт показывает, что при переменных напряжениях после некоторого числа циклов может наступить разрушение детали, в то время как при том же неизменном во времени напряжении разрушения не происходит.

 

Рис.3. Иллюстрация усталостной прочности.

 

Число циклов до момента разрушения зависит от величины и меняется в весьма широких пределах. При больших напряжениях для разрушения бывает достаточно 5—10 циклов. Это хорошо видно хотя бы на примере многократного изгиба куска проволоки (рис. 3).

При меньших напряжениях деталь выдерживает миллионы и миллиарды циклов, а при еще меньших — способна работать неограниченно долго.

После разрушения на поверхности излома детали обнаруживаются обычно две ярко выраженные зоны ( рис. 4 и 5). В одной зоне кристаллы различаются невооруженным глазом с большим трудом. Поверхность излома имеет сглаженные очертания. В другой зоне явно выступают признаки свежего хрупкого разрушения. Кристаллы имеют острую огранку и блестящую чистую поверхность.

В целом создается первое впечатление, что подобного рода разрушение связано с изменением кристаллической структуры металла. Именно этим и объяснялось в свое время разрушение при циклических напряжениях. Описанное явление получило тогда название усталости, а направление исследований, связанных с прочностью, стало называться усталостной прочностью. В дальнейшем точка зрения на причины усталостного разрушения изменилась, но сам термин сохранился.

В настоящее время установлено, что структура металла при циклических нагрузках не меняется. Начало разрушения носит чисто местный характер. В зоне повышенных напряжений, обусловленных конструктивными, технологическими или структурными факторами, может образоваться микротрещина. При многократном изменении напряжений кристаллы, расположенные в зоне трещины, начинают разрушаться и трещина проникает в глубь тела.

Соприкасающиеся поверхности в зоне образовавшейся трещины испытывают контактное взаимодействие, в результате чего кристаллы истираются, а поверхности приобретают внешний вид мелкозернистой структуры. Так образуется одна из зон поверхности будущего излома.

В результате развития трещины сечение ослабляется. На последнем этапе происходит внезапное разрушение. Излом имеет характерную поверхность с неповрежденными чистыми кристаллами.

Из фотографии (рис. 4) видно, что разрушение бруса произошло в результате развития трещины, образовавшейся у края сечения. Разрушение рельса (рис. 5) обусловлено развитием трещины, образовавшейся внутри сечения в зоне местного порока.

Теоретический анализ усталостной прочности связан с большими трудностями. Природа усталостного разрушения обусловлена особенностями молекулярного и кристаллического строения вещества. Поэтому схема сплошной среды, которая с успехом применялась в рассматривавшихся до сих пор задачах, в данном случае не может быть принята в качестве основы для исследования.

 

Рис.4. Характерные признаки уталостного разрушения

 

Рис.5. Характерные признаки усталостного разрушения рельсы

 

Для создания достаточно стройной теории усталостной прочности необходимо проникнуть в особенности строения кристаллов и межкристаллических связей с последующим привлечением аппарата статистики.

В настоящее время, однако, физические основы теории твердого тела не находятся еще на такой стадии развития, чтобы на их базе можно было бы создать методы расчета на усталостную прочность, удовлетворяющие запросам практики. Поэтому приходится идти по пути накопления экспериментальных фактов, из совокупности которых можно было бы выбрать подходящие правила как руководство для расчета. Объединение и систематика экспериментальных данных и представляет собой в настоящее время содержание теории усталостной прочности.

Отсутствие единых основополагающих законов в этой теории лишает ее стройности. В результате полученные экспериментальные зависимости не являются универсальными, а сами расчеты; дают сравнительно невысокую точность.

 

Основные характеристики цикла и предел усталости

Рассмотрим вначале случай одноосного напряженного состояния. Закон изменения главного напряжения о во времени представлен кривой,… Наибольшее и наименьшее напряжения цикла обозначим через и . Их отношение называется коэффициентом цикла

Влияние состояния поверхности и размеров детали на усталостную прочность

При расчетах на усталостную прочность особенности, связанные с обработкой поверхности детали, учитываются коэффициентом качества поверхности: где ,—предел усталости, полученный на образцах, имеющих стандартную обработку поверхности. В качестве таковой —…

Коэффициент запаса усталостной прочности и его определение

Условимся под запасом усталостной прочности понимать отношение отрезка ОВ к отрезку ОА (см. рис. 9)

Постановка задачи. Явление Резонанса.

Статическое действие нагрузок имеет место, когда при передаче давления от одной части конструкции на другую или при действии объемных сил… Постоянство движения характеризуется тем, что скорость рассматриваемых деталей… Точно так же статическим будет действие поднимаемого груза на канат при постоянной скорости подъема груза. Наоборот,…

Влияние резонанса на величину напряжений.

  Рис.1. Расчетная схема неуравновешенного ротора машины

Вычисление напряжений при колебаниях.

Во многих случаях характер колебаний системы может быть определен одной какой-нибудь величиной (одной координатой). Такие системы называются… Рис.2. Динамическая модель колебаний системы с одной степенью свободы.

Учет массы упругой системы при колебаниях.

Полагая, что количество энергии, сообщенное системе при выведении ее из положения равновесия и представляющее собой сумму кинетической и… Это уравнение показывает, что при колебаниях происходит непрерывный процесс… Заметим, что принцип, положенный в основу этого уравнения, применим лишь для систем с одной степенью свободы, так как…

Основные положения

При забивке свай тяжелый груз падает с некоторой высоты на верхний торец сваи и погружает ее в грунт; баба останавливается почти мгновенно, вызывая… Обозначая это ускорение через а, можно написать, что реакция , где Q — вес…  

Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе.

  Рис.2. Динамическая модель ударного нагружения.