Вычисление напряжений при колебаниях. - раздел Образование, Введение и основные понятия. Метод сечений для определения внутренних усилий. Эпюры внутренних усилий при растяжении-сжатии и кручении Упругая Система, Выведенная Каким-Либо Путем Из Равновесия, Приходит В Колеба...
Упругая система, выведенная каким-либо путем из равновесия, приходит в колебательное движение. Колебания происходят около положения упругого равновесия, при котором в нагруженной системе имели место статические деформации и соответствующие им статические напряжения ( или — в зависимости от вида деформации). При колебаниях к статическим деформациям добавляются динамические, зависящие от вида колебательного движения и от величины размаха (амплитуды) колебаний. В связи с этим изменяются и напряжения . Таким образом, при расчете колеблющейся системы на прочность необходимо уметь вычислять динамические добавки к статическим деформациям и соответствующим им напряжениям.
Во многих случаях характер колебаний системы может быть определен одной какой-нибудь величиной (одной координатой). Такие системы называются системами с одной степенью свободы; таковы, например, растянутая или сжатая незначительного веса пружина с грузом на конце, совершающая продольные колебания; небольшого (сравнительно с грузом Q) собственного веса балка, изображенная на Рис.2, колеблющаяся в направлении, перпендикулярном к ее оси, и т. п.
Рис.2. Динамическая модель колебаний системы с одной степенью свободы.
При колебаниях систем с одною степенью свободы полные деформации системы в каком либо сечении могут быть найдены путем сложения статической деформации с добавочной деформацией при колебаниях. Для проверки прочности системы, очевидно, необходимо найти наиболее опасное сечение с наибольшей в процессе колебаний суммарной величиной деформации. В простейших случаях для этого потребуется сложить наибольшую статическую деформацию с наибольшей амплитудой колебаний А, т. е.
Пока система деформируется в пределах упругости, напряжения пропорциональны деформациям. Поэтому
где
— коэффициент динамичности при колебаниях. Условие прочности в этом случае должно иметь такой вид:
Таким образом задача нахождения динамических напряжений и проверки прочности при колебаниях может быть сведена к определению статических напряжений и коэффициента динамичности . Так как последний зависит от величины А, то нужно уметь определять наибольшее значение амплитуды колебаний в разных случаях.
Как известно, дифференциальное уравнение движения колеблющегося груза Q в случае свободных колебаний можно представить в виде уравнения равновесия, в котором кроме внешней силы (веса груза Q) и силы упругого сопротивления системы учитывается также и сила инерции:
(1)
Здесь х — координата, полностью определяющая положение груза Q во время колебаний; Р — полное упругое сопротивление системы при колебаниях; — так называемая восстанавливающая сила (добавочное упругое усилие, возникающее в системе в результате перемещения точки приложения груза Q на расстояние х при колебаниях), которую в пределах упругости можно считать пропорциональной координате х (); с — коэффициент пропорциональности, представляющий собой усилие, необходимое для того, чтобы вызвать равную единице статическую деформацию системы в направлении действия груза Q. Если статическая деформация от груза Q равна , то .
Решение уравнения (1) приводит к таким формулам для вычисления частоты и периода свободных колебаний:
и
Свободные колебания невесомого тела суть простые гармонические колебания с частотой (периодом), равной частоте (периоду) колебаний математического маятника, длина которого равна статической деформации системы от груза Q. Так, например, если груз Q растягивает призматический стержень,
при изгибе балки на двух шарнирных опорах грузом Q посредине пролета
и т.д.
Если на упругую систему, кроме груза Q и силы упругого сопротивления системы Р, в том же направлении действует периодически меняющаяся возмущающая сила S и сила сопротивления среды R, то дифференциальное уравнение движения груза Q при колебаниях также может быть представлено в виде уравнения равновесия, подобного уравнению (1):
(2)
Силу сопротивления среды R на практике в довольно большом числе случаев можно считать пропорциональной первой степени скорости колебательного движения, т. е. . Если возмущающая сила S меняется по синусоидальному закону:
,
где , а — частота возмущающей силы, то уравнение (2) может быть переписано так:
или
(3)
Здесь — так называемый коэффициент затухания колебаний,
a — найденная выше частота свободных колебаний системы, возникающих при отсутствии как возмущающей силы S так и силы сопротивления R.
Решение уравнения (3) приводит к такому выражению для амплитуды А вынужденных колебаний при наличии сил сопротивления:
Здесь
— статическая деформация системы от наибольшей величины возмущающей силы S (). Отношение амплитуды вынужденных колебаний А к величине деформации называется коэффициентом нарастания колебаний :
Таким образом, формула (35.21) для динамического коэффициента получает теперь такой вид:
В этом выражении не учтена амплитуда собственных колебаний системы, которая может иметь сколько-нибудь существенное значение лишь в самом начале процесса колебаний; при наличии сил сопротивления она довольно быстро уменьшается с течением времени.
На рис.3 приведены графики изменения коэффициента нарастания колебаний в зависимости от величины отношения при разных значениях коэффициента затухания колебаний n ( отношения ). Если частота изменения возмущающей силы близка к частоте свободных колебаний системы, т. е. , и если величина коэффициента затухания колебаний сравнительно невелика, то знаменатели формул и для A и будут очень малыми, амплитуда колебаний и коэффициент нарастания колебаний будут очень большими. В этом случае даже небольшая возмущающая сила может вызвать высокие напряжения (явление резонанса).
Рис.3. Амплитудно-частотные характеристики системы.
С увеличением сил сопротивления явление резонанса становится все менее заметным. Заметим, однако, что силы сопротивления значительно уменьшают величину амплитуды вынужденных колебаний только вблизи от резонанса при других величинах отношения — влияние сил сопротивления незначительно.
Из рис. 3 видно, что если частота изменения возмущающей силы S очень мала, то амплитуда колебаний приближается к величине , коэффициент нарастания колебаний стремится к единице и наибольшие напряжения в системе могут быть вычислены как статические напряжения от груза Q и наибольшего значения возмущающей силы S.При очень большой частоте изменения возмущающей силы S амплитуда колебаний и коэффициент нарастания колебаний стремятся к нулю, груз Q можно рассматривать как неподвижный; поэтому наибольшее напряжение в системе равно статическому напряжению от груза Q.
Это обстоятельство имеет очень большое практическое значение; оно используется при конструировании разного рода поглотителей колебаний, сейсмографов, вибрографов и других приборов. В машиностроении амортизаторы, предохраняющие основания машин от усилий, возникающих при колебаниях, подбираются так, чтобы частота собственных колебаний машины на амортизаторах была значительно меньше частоты изменения возмущающей силы.
Метод сечений для определения внутренних усилий... Эпюры внутренних усилий при растяжении сжатии и кручении... Эпюры внутренних усилий при прямом изгибе...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Вычисление напряжений при колебаниях.
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
ЭПЮРЫ ВНУТРЕННИХ УСИЛИЙ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ-СЖАТИИ
Растяжением или сжатием называется такой простой вид сопротивления, при котором внешние силы приложены вдоль продольной оси бруса, а в поперечном сечении его возникает только нормальная сила.
ЭПЮРЫ ВНУТРЕННИХ УСИЛИЙ ПРИ КРУЧЕНИИ
Кручением называется простой вид сопротивления, при котором к брусу (валу) прикладываются внешние пары сил в плоскостях, совпадающих с поперечным сечением вала, а в последних возникает только внутр
НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ. ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ
Вектор напряженийpn является физическим объектом, имеющим длину, направление и точку приложения. В этом смысле он обладает векторными свойствами. Однако этому объекту присущи неко
ТЕНЗОР ДЕФОРМАЦИИ
Рассмотрим вначале случай плоской деформации (рис. 4). Пусть плоский элемент MNPQ перемещается в пределах плоскости и деформируется (изменяет форму и размеры). Координаты точек элемента до и
ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ УПРУГОЙ ДЕФОРМАЦИИ
Рассмотрим вначале элементарный объем dV=dxdydz в условиях одноосного напряженного состояния (рис. 1). Мысленно закрепим площадку х=0 (рис. 3). На противоположную площадку действует с
МЕХАНИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТЕЛ
В упругом состоянии деформации обратимы, и вся энергия, затраченная на деформирование, при разгрузке возвращается (диссипация энергии отсутствует). Для любого твердого тела процесс деформиро
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ
Согласно ГОСТ 27.002—89 «Надежность в технике. Термины и определения» надежность конструкции есть свойство сохранять во времени способность к выполнению требуемых функций в заданных режимах.
РАСЧЕТНЫЕ НАГРУЗКИ, КОЭФФИЦИЕНТЫ ЗАПАСА
Условие прочности (1) записано через напряжения, которые вычисляются через внешние нагрузки, приложенные к конструкции. Пусть внешние нагрузки определены с точностью до одного параметра S, а
ПОНЯТИЕ О КОНЦЕНТРАЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ, ПРИНЦИП СЕН-ВЕНАНА
Даже для призматического стержня равномерное распределение напряжений по поперечному сечению не всегда имеет место. Так, отклонения от равномерного распределения напряжений наблюдаются в окрестност
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЕФОРМАЦИЙ И ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Определим упругие деформации стержня предполагая, что изменение его длины при растяжении , называемое абсолютной продольной деформацией
Применение к статически определимым системам.
В предыдущем изложении методов расчета мы исходили из основного условия прочности . Это неравенство требует выбора размеров конструкции с та
Деформации при действии собственного веса.
При определении влияния собственного веса на деформацию при растяжении и сжатии стержней придется учесть, что относительное удлинение различных участков стержня будет переменным, как и напряжение
Общий способ вычисления моментов инерции сложных сечений.
При проверке прочности частей конструкций нам приходится встречаться с сечениями довольно сложной формы, для которых нельзя вычислить момент инерции таким простым путем, каким мы пользовались для п
Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции.
Как известно, центральные моменты инерции являются наименьшими из всех моментов относительно ряда параллельных осей.
Найдем теперь крайние значения (максимум и минимум) для центральных мом
РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФОРМЫ ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ ПРИ ИЗГИБЕ
Наиболее рациональным следует признать сечение, обладающее минимальной площадью при заданной нагрузке (изгибающем моменте) на балку. В этом случае расход материала на изготовление балки, будет мини
ПОНЯТИЕ О СОСТАВНЫХ БАЛКАХ
Работу составных балок проиллюстрируем на простом примере трехслойной балки прямоугольного поперечного сечения. Если слои между собой не связаны и силы трения между ними отсутствуют, то каждый из н
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОГО ИЗГИБА ПРИЗМАТИЧЕСКОГО СТЕРЖНЯ
Определено, что мерой деформации призматического стержня при прямом чистом изгибе является кривизна нейтрального слоя. Можно показать, что с достаточной для инженерных расчетов точностью этим тезис
Понятие о сдвиге. Расчет заклепок на перерезывание.
Мы изучали, что при простом растяжении или простом сжатии две части стержня, разделенные наклонным сечением, стремятся не только оторваться друг от друга, но и сдвинуться одна относит
Изгиб балки при действии продольных и поперечных сил.
На практике очень часто встречаются случаи совместной работы стержня на изгиб и на растяжение или сжатие. Подобного рода деформация может вызываться или совместным действием на балку продольных и п
Внецентренное сжатие или растяжение.
Вторым практически важным случаем сложения деформаций от изгиба и от продольных сил является так называемое внецентренное сжатие или растяжение, вызываемое одними продольными силами. Этот вид дефор
Примем следующий порядок расчета.
1. Разлагаем все внешние силы на составляющие
P1x, P2x,..., Pnx и P1y, P2y,..., Pny.
2. Строим эпюры изгиб
Подбор сечений балок равного сопротивления.
Все предыдущие расчеты относились к балкам постоянного сечения. На практике мы имеем часто дело с балками, поперечные размеры которых меняются по длине либо постепенно, либо резко.
Ниже ра
Определение деформаций балок переменного сечения.
При определении прогибов и углов поворота для балок с переменным сечением надлежит иметь в виду, что жесткость такой балки является функцией от х. Поэтому дифференциальное уравнение изогнуто
Общие понятия.
К числу статически неопределимых балок может быть отнесена балка на упругом основании. Так называется балка, опирающаяся по всей своей длине (Рис.1) на упругое основание, оказывающее в каждой точке
Постановка задачи.
Кроме рассмотренных способов вычисления прогибов и углов поворота сечений балок существует более общий метод, пригодный для определения деформаций любых упругих конструкций. Он основан на применени
Вычисление потенциальной энергии.
При вычислении потенциальной энергии будем предполагать, что деформации не только материала, но и всей конструкции, следуя закону Гука, пропорциональны нагрузкам, т. е. линейно с ними связан
Теорема Максвелла—Мора.
Прогиб балки в точке приложения сосредоточенной силы Р равен:
аналогичное выражение мы имеем и для угла поворота
Метод Верещагина.
Способ Максвелла — Мора в значительной степени вытеснил на практике непосредственное применение теоремы Кастильяно. В справочниках обычно приводятся таблицы интегралов
Общие понятия и метод расчета.
До сих пор мы рассматривали только статически определимые балки, у которых три опорные реакции определялись из условий равновесия. Очень часто, по условиям работы конструкции, оказывается необходим
Способ сравнения деформаций.
Выполняя решение уравнения , названного уравнением совместности деформаций, можно рассуждать следующим образом.
Прогиб точки В
Выбор лишней неизвестной и основной системы.
В предыдущем примере мы выбрали за лишнюю неизвестную реакцию В. Мы могли бы выбрать и момент . Соответственно изменилась бы основна
Общий план решения статически неопределимой задачи.
Таким образом, общий метод решения, статически неопределимых задач распадается на ряд отдельных этапов.
В дух предыдущих лекциях приведены два варианта решения задачи: с лишней реакцией
Определение деформаций статически неопределимых балок.
После того, как определены опорные реакции, построены эпюры изгибающих моментов и поперечных сил, подобраны сечения статически неопределимой балки, определение ее деформаций ничем- не отличается от
Напряжения в сферических толстостенных сосудах.
На фиг. 547 изображен элемент, вырезанный из толщи стенки толстостенного сферического сосуда; внутренний радиус этого элемента равен r, а наружный
Диск равного сопротивления.
Получено, что, изменение напряжений и вдоль радиуса диска постоянной толщины весь
Влияние способа закрепления концов стержня.
Формула Эйлера была получена путем интегрирования приближенного дифференциального уравнения изогнутой оси стержня при определенном закреплении его концов (шарнирно-опертых). Значит, найденное выраж
Основные характеристики цикла и предел усталости
Рассмотрим вначале случай одноосного напряженного состояния.
Закон изменения главного напряжения о во времени представлен кривой, показанной на рис. 6.
Наибольшее
Коэффициент запаса усталостной прочности и его определение
Построим диаграмму усталостной прочности и нанесем на ней рабочую точку цикла. Диаграмма строится, как это было показано выше, на основе заданных механических характеристик материала
Постановка задачи. Явление Резонанса.
До сих пор мы решали основную задачу сопротивления материалов, определяли размеры поперечных сечений частей конструкции и выбирали для них материал лишь при статическом действии нагрузок.
Учет массы упругой системы при колебаниях.
Если колеблющаяся система, несущая груз Q, обладает довольно значительной распределенной массой (число степеней свободы, следовательно, велико), то упрощенные расчеты, будут иметь уже значит
Основные положения
Явление удара получается в том случае, когда скорость рассматриваемой части конструкции или соприкасающихся с ней частей изменяется в очень короткий период времени.
При забивке свай тяжелы
и соответствующие им статические напряжения 
(
или 
— в зависимости от вида деформации). При колебаниях к статическим деформациям добавляются динамические, зависящие от вида колебательного движения и от величины размаха (амплитуды) колебаний. В связи с этим изменяются и напряжения 
с наибольшей амплитудой колебаний А, т. е.
. Так как последний зависит от величины А, то нужно уметь определять наибольшее значение амплитуды колебаний в разных случаях.
— так называемая восстанавливающая сила (добавочное упругое усилие, возникающее в системе в результате перемещения точки приложения груза Q на расстояние х при колебаниях), которую в пределах упругости можно считать пропорциональной координате х (
); с — коэффициент пропорциональности, представляющий собой усилие, необходимое для того, чтобы вызвать равную единице статическую деформацию системы в направлении действия груза Q. Если статическая деформация от груза Q равна 
, то 
.
и периода 
свободных колебаний:
и 
. Если возмущающая сила S меняется по синусоидальному закону:
,
, а 
— частота возмущающей силы, то уравнение (2) может быть переписано так:
— так называемый коэффициент затухания колебаний,
). Отношение амплитуды вынужденных колебаний А к величине деформации 
называется коэффициентом нарастания колебаний 
:
при разных значениях коэффициента затухания колебаний n ( отношения 
). Если частота изменения возмущающей силы близка к частоте свободных колебаний системы, т. е. 
, и если величина коэффициента затухания колебаний сравнительно невелика, то знаменатели формул и для A и 
при других величинах отношения — влияние сил сопротивления незначительно.
Новости и инфо для студентов