Статистический анализ СМО.

Статистическое моделирование являет­ся неотъемлемой частью разработки математической модели реальной системы. В общем виде модель может существовать сама по себе, но приведение ее в количественное соответствие с конкретной системой массового обслуживания достигается путем статистического анализа эмпирических данных, оценивания фигурирующих в модели параметров и проверок исходных гипотез.

Параметрами системы, по существу, являются параметры, связанные с процессом поступления требований и механиз­мом обслуживания (либо некоторые функции этих параметров), такие как распределения вероятностей величин, а также физические характеристики системы, такие, как количество обслуживающих приборов, число очередей, вместимость простран­ства, отведенного для требований, ожидающих обслуживания и т. д. Статистические задачи, возникающие при исследовании систем массового обслуживания, связаны с оценкой параметров основных процессов, протекающих в системе.

При построении модели обслуживающей системы, прежде всего, необходимо выявить структурные и количественные харак­теристики входного потока, механизма обслуживания и дисципли­ны очереди. Общую схему функционирования системы и дисциплину очереди легко установить путем наблюдений; чтобы опреде­лить характеристики входного потока и процесса обслуживания, приходится прибегать к статистическим методам обработки дан­ных. При этом можно выделить следующие этапы:

(1) Сбор данных. Прежде всего, необходимо определить, какие данные потребуются для предстоящего анализа. В этой связи следует заметить, что вид требуемых данных в значительной степени зависит от того, какая модель будет предложена для описания реальной системы массового обслуживания. Но посколь­ку тип модели не всегда оказывается заданным, исходную систему показателей на стадии сбора данных лучше всего выбирать в доста­точной степени универсальной. Основными характеристиками процедуры сбора данных являются: а) способ получения данных; б) объем выборки.

Способ получения данных также зависит от того, как результаты наблюдений будут использоваться в модели. Так, например, системе М/М/1 коэффициент нагрузки можно оценить как отношение средней интенсивности поступления требований к средней интенсивности обслуживания. С другой стороны, в качестве оценки коэффициента нагрузки можно использовать долю времени, течение которого система оказывается занятой обслуживанием (загруженной). Ясно, что первый способ оценивания коэффициента нагрузки является более точным и эффективным.

Наряду с проблемой выбора метода сбора данных возни­кает проблема выбора величины интервала времени для наблюде­ний. Как долго следует наблюдать за системой? В пределах некото­рого заданного интервала времени или же до тех пор, пока в систе­му не поступит определенное количество требований? Если процесс поступления требований является пуассоновским, то для получения выборки оптимального размера второй вариант имеет по сравнению с первым явное преимуще­ство.

Таким образом, при решении вопроса о наилучшем использовании информации, характеризующей процесс функ­ционирования системы, следует исходить из практических сооб­ражений. Чтобы полезность собранных данных была максималь­ной, на ранних стадиях исследования может потребоваться неод­нократный пересмотр плана проведения эксперимента. Похожая проблема возникает и в связи с определением объема выборки. Большинство методов определения объема выборки являются парамет­рическими, за исключением метода, основанного на использовании неравенства Чебышева.

Этот метод позволяет оценить требуемый объем выборки при произвольном виде функции распределения вероятностей; при этом с доверительностью, равной 0,98 при выборке, равной 200 , удается оценить среднее значение исследуемой совокупности с точностью до одной второй от среднеквадратического отклонения. В тех случаях, когда вид распределения вероятностей известен, при том же самом объеме выборки результаты удается существенно улучшить.

(2) Проверка на стационарность. Поскольку при анализе нестационарных процессов, протекающих в СМО, возникают большие трудности, число исследований таких процессов незначительно. В реальных же условиях нестационарность поведения СМО на некоторых интервалах времени наблюдается довольно часто. Например, в поведении требований на обслуживание весьма распространенными являются циклические тренды.

Один из самых простых способов, позволяющих использовать для анализа нестационарных процессов результаты, полученные в предположении о том, что условия стационарности выполняются, состоит в раз­биении рассматриваемого интервала времени на периоды, в преде­лах которых поведение системы можно считать стационарным. При осуществлении такого разбиения применяют так называемые процедуры проверки статистических гипотез. Поскольку на началь­ной стадии исследования не делаются предположения о пара­метрической форме записи закона распределения вероятностей для рассматриваемых процессов, особый интерес представляют непараметрические критерии. Одним из критериев такого рода является модификация двухвыборочного рангового критерия Вилкоксона, в которой учиты­вается взаимосвязь между дискретными наблюдениями.

(3) Проверка независимости событий. Одним из допущений, упрощающих анализ систем массового обслуживания, является предположение о независимости моментов поступления требований и (или) длительностей обслуживания. Для проверки этого пред­положения можно применить соответствующие критерии. Во мно­гих случаях корреляционная структура процесса может быть выявлена путем представления наблюдаемых данных в виде вре­менных рядов. Существуют критерии проверки специфических типов взаимосвя­зей между наблюдаемыми событиями, в частности для проверки гипотезы о том, что исследуемый процесс может быть представлен в виде цепи Маркова. Была разработана теория максимального правдоподобия для марковских процессов, которую можно исполь­зовать для анализа многих моделей массового обслуживания не очень сложной структуры.

(4) Подбор вида распределений. Эти процедуры связаны с оце­ниванием параметров и проверкой гипотез относительно видов распределения. Лучше всего сначала рассматривать простые рас­пределения (например, пуассоновское), так как в этих случаях анализ существенно упрощается. При этом можно пользоваться стандартной техникой подбора вида распределения, основанной на использовании критерия c² . В случае, если предполагаемое распределение является пуассоновским, исходными данными могут быть либо количество поступлений и число обслуженных требований на фиксированном (заданном) интервале времени, либо длины интервалов времени между поступлениями требования и длительности обслуживания. Если же предполагаемое распределение не является пуассоновским (например, равномерное распределение, нормальное распределение, распределение Эрланга), то в качестве исходных данных могут служить лишь длины интервалов времени между последовательными поступлениями требований на обслуживание и длительности обслуживания. Как и в любом другом случае, когда речь идет о процедуре стати­стического анализа, решающим фактором при выборе критерия является наличие подходящих данных.

При анализе пуассоновского потока событий (событиями являются поступления требований и завершения обслуживания индивидуальных заявок, причем интервалы между событиями имеют экспоненциальное распределение) имеется несколько воз­можностей. Среди них заслуживают внимания следующие: а) вос­пользоваться критерием согласия; б) применить F - критерий; в) использовать критерий Колмогорова-Смирнова; г) приме­нить критерий Андерсона-Дарлинга , д) использовать крите­рий равномерности распределения. Первые четыре процедуры являются стандартными; их описание можно найти в книгах, посвященных теории статистических выводов [13]. В последнем случае используют свойство пуассоновского рас­пределения, позволяющее установить связь между этим распре­делением и равномерным распределением. Если T₁, T₂, …, T_n - моменты времени, в которые происходят некоторые случайные события, ассоциированные с пуассоновским процессом, то выборку (Т₁ , Т₂ , . . ., Т_n) можно рассматривать как упорядоченную вы­борку объема n из равномерного распределения в интервале (0, Т) ; следовательно, если S_n = åⁿ_i=1 T_i , то Е [S_n] = nТ/2 ; Vаг [S_n] = nТ²/12.

Таким образом, проверка первоначально выбранного распределения может быть сведена к проверке норми­рованного нормального распределения на основе центральной предельной теоремы.

Проблема подбора подходящей модели предполагает, прежде всего, наличие соответствующих вариантов модели. Если ни одна из имеющихся моделей не подходит к рассматриваемой ситуации, требуется разработка новых моделей или видоизменение первоначальных вариантов модельного представления исследуемых процессов. Примером может служить распределение Эрланга. Распределение Эрланга фактически представляет собой семейство распределений с весьма широким диапазоном свойств. При k = 1 оно сводится к экспоненциальному распределению, а при k ® ¥ имеет место детерминированный процесс.

Статистический анализ моделируемой CМО преследует, в частности, цель выявления взаимосвязи между операционными характеристиками, относящимися к разным структурным элементам исследуемой системы, и получение оценок параметров протекающих в системе процессов.