Математическая модель оптимизации движения информационных потоков в системе управления

На предпроектной стадии важно выделить возможные узкие места в системе обработки информации. Это позволит оптимально (рационально) распределить средства вычислительной техники по подразделениям, обеспечить должную загрузку технических средств и гарантировать решение всех управленческих задач в требуемые сроки.

Пусть организация состоит из n подразделений, имеющих взаимные информационные связи. Каждому подразделению поставим в соответствие совокупность функций:

W_p (t) – входной поток первичной (внешней) информации, поступающей в подразделение p в момент времени t;

V_ip (t) – информационный поток из подразделения i данной организации в подразделение p этой же организации, , i ≠ p.

В общем случае входной поток первичной информации имеет трендовую, сезонную и циклическую составляющие, а также на него могут влиять случайные изменения с нулевым математическим ожиданием и постоянной дисперсией. Поэтому W_p(t) можно представить в виде:

W_p (t) = f_p(t) + S_p(t) + C_p(t) + ε_p (1)

где W_p(t) – объем первичной информации (в байтах, документах, документостроках и т.д.), поступающей для обработки в подразделение p в момент времени t;

f_p(t) – трендовая составляющая потока;

S_p(t) – сезонная составляющая потока;

C_p(t) – циклическая составляющая потока;

ε_p – случайная составляющая потока, причем M[ε_p]=0; D[ε_p]=const.

Принципиально важно, что объем информационного потока, передаваемого от подразделения i к подразделению p, для последующей обработки, является эндогенной для рассматриваемой системы величиной, зависящей от совокупного объема информации, поступившего для обработки в подразделение i, укомплектованности его кадрами и оснащенности средствами вычислительной техники.

Рассмотрим с формально-логической точки зрения процесс обработки информации в подразделении p, которое будем считать «черным ящиком», преобразующим входную информацию V_вх (совокупный объем входной информации, который поступил в момент времени t в подразделение р) в выходную V_вых . Это можно записать так:

(2)

Если, однако, пропускная способность подразделения р недостаточна для обработки всего поступившего объема информации в единицу времени, то фактически получаемый объем выходной информации таков, что

(3)

Поэтому в динамике, т.е. с учетом временного фактора, равенство (2) примет вид:

(4)

Равенство (4) гарантирует получение всего требуемого теоретического, т.е. «положенного», объема выходной информации за несколько периодов времени и то лишь в том случае, если подразделение р обладает определенными вычислительными ресурсами в течение зависящего от величины этих ресурсов времени от поступления «порции» входной информации. Для формализации введем следующие переменные.

Пусть X_p(t) – объем входной информации, который может быть обработан в подразделении р в единицу времени,

V_p(t) – совокупный объем информации, поступившей в подразделение р, но не обработанной к моменту времени t.

Тогда, если интервал времени ∆t мал, то можно записать, что прирост необработанной информации за время ∆t:

V_p (t + ∆t) – V_p (t) = (V^p_вх(t) – X_p(t)) ∆t + O (∆t²) (5)

Поделив (5) на ∆t при ∆t→0, получим:

(6)

Дифференциальное уравнение (6) определяет динамику изменения объема необработанной в подразделении р информации.

Так как поток входной информации складывается из первичной информации, поступающей из внешней среды, и информационных потоков из других подразделений, то с учетом ранее введенных обозначений можно записать

, (7)

где - количество информации, поступившей в подразделение р из других (n – 1) подразделений организации,

– объем информации, который является продуктом работы подразделения р, т.е. выходящей из подразделения р информации, он зависит от объема переработанной информации .

Введем еще одни обозначения.

Обозначим через ψ_pj(V^p_вых) функции, характеризующие объем информации, передаваемой от подразделения р подразделению с номером .

Поскольку в действительности

(8)

то вся вновь созданная в подразделении р информация распределяется между (n–1) подразделениями организации в соответствии с функциями:

(9)

Теперь можно определить структуру модели. Основные соотношения из (6), (7), (8) и (9) следующие:

(10)

(11)

, (12)

где W_p(t) определяется формулой (1).

Считая заданными функции – определяется структурой и назначением подразделений организации.

– определяет общий объем выходной созданной информации от количества обработанной входной информации)

для определения эндогенных, т.е. внутренних, n²+2n переменных модели, т.е. функций

V_p(t) – объем необработанной информации в единицу времени информации в подразделении р,

v _pj(t) – объемы информации, передаваемой от одного подразедления к другому,

X_p(t) – объем информации, обрабатываемой в единицу времени подразделением р,

имеем n дифференциальных и n² обычных уравнений.

Поскольку система уравнений (10) – (12) является неопределенной, то представляет интерес постановка задачи как оптимизационной.

Пусть: – предельная пропускная способность подразделения p в момент времени t. Ее величина соответствует полной загрузке персонала и технических средств данного подразделения; – предельная пропускная способность подразделения в начальный момент времени;

C_p(X_p) – заданная функция величины затрат на обеспечение пропускной способности подразделения p в размере X единиц информации в единицу времени. Эти затраты складываются из заработной платы сотрудников данного подразделения и средств, необходимых для технического обслуживания ПЭВМ, другой вычислительной и оргтехники, а также затрат на сопровождение ПО;

U_p(t) – прирост максимальной пропускной способности подразделения в период t. Отрицательная величина соответствует продаже или выходу из строя тех или иных технических средств, увольнению или болезни сотрудников и т.д.; т.е.

K_p(U_p) – заданная функция зависимости величины дополнительных капиталовложений при изменении пропускной способности подразделения p на U_p единиц.

Теперь решение вопроса о выборе рациональной организации наращивания пропускных способностей подразделений организации по выпуску информации, при критерии минимума совокупных затрат, может быть сведено к решению задачи математической теории оптимального управления:

(13)

, (14)

, (15)

, , (16)

, (17)

, (18)

, (19)

, (20)

Здесь Т – горизонт планирования, а – ограничения на величину «задолженности» подразделения р по обработке информации. Введение ограничений (20) необходимо для обеспечения формального требования неотрицательной величины необработанной информации, т.к. обработка информации «впрок» до ее получения невозможна. Ограничение сверху на V_p(t) объясняется требованием завершения обработки информации в срок по всем цепочкам процессов ее преобразования.

Рассмотренный вариант модели соответствует полностью распределенной обработке данных в организации, т.к. условиями (17) задаются ограничения на пропускные способности каждого подразделения, чем неявно предполагается возможность перераспределения технических средств между ними. При централизованном варианте СОД условия (17) должны быть заменены на:

, (21)

где – мощность специализированного вычислительного подразделения (объем информации, который может быть обработан ВЦ учреждения при максимальном уровне загрузки средств вычислительной техники).

Кроме того, вместо системы функций , U_p(t) должна рассматриваться лишь пара функций и U(t), где U(t) – прирост мощностей по обработке информации специализированного вычислительного подразделения в момент времени t. При этом условия (18) и (19) заменяются на:

, (22)

, (23)

и требуют переопределения функции и K_p(U).

Функционал (13) предполагает оптимизацию основных переменных по критерию минимума совокупных затрат. Возможна другая постановка задачи, если в качестве критерия эффективности СОД выбрать минимизацию времени, необходимого для выпуска информации по задачам заданного множества подразделений.

Введем множество Р΄ подразделений, выпускающих конечную информационную продукцию. Тогда, если множество Р˝Р΄ подразделения, которые должны обеспечить наиболее оперативный выпуск информации, то функционал задачи принимает вид:

(24)

а ограничения (20) должны быть заменены на

(25)

(26)

где c(t) – лимит на текущие затраты учреждения в период t,

k(t) – лимит на капитальные затраты учреждения.

Смысл функционала (24) состоит в том, чтобы свести к минимуму величину необработанной информации в тех подразделениях, от которых требуется наиболее оперативное решение задач.

Все перечисленные выше изменения не выводят задачу из класса задач теории оптимального управления. Поэтому как аналитическое исследование, так и численное ее решение могут быть получены известными методами и алгоритмами.