Інтеграл Максвелла – Мора

Розглянемо довільну плоску стержньову систему (балку, раму, ферму), навантажену заданими зовнішніми силами (рис. 1а).

Зусилля в довільному перерізі системи позначимо через . Визначимо переміщення (узагальнене) будь-якої точки системи в напрямі m-m. Введемо допоміжний стан (рис. 1б), що є заданою системою, навантаженою лише однією одиничною силою (узагальненою) , прикладеною в тій самій точці і в напрямі шуканого переміщення . Зусилля в довільному перерізі допоміжного стану, спричинені дією одиничної сили , позначимо .

Застосуємо початок можливих переміщень для допоміжного стану, ввівши як можливі дійсні переміщення заданої системи [1]:

(1.1)

де – кількість ділянок розрахункової схеми, k – коефіцієнт форми перерізу.

Вираз (1.1) є загальною формулою для пружного переміщення плоскої стержньової системи.

Якщо виходити з виразу початку можливих переміщень [1], то у загальному випадку просторової стержньової системи при довільному навантаженні загальна формула для визначення пружного переміщення містить шість додатків і її можна записати і вигляді:

(1.2)

Індекси “x”, “y” в формулі (1.2) позначають головні осі перерізу ділянки стержня, індекс “к” – крутний момент. Зазначимо, що наведені формули можна застосовувати і для криволінійних стержнів малої кривизни.

Формули (1.1) та (1.2) вперше були виведені Максвеллом (для поздовжніх переміщень) і Мором. Визначення переміщень за цими формулами часто називають методом Максвелла – Мора. Зазначимо, що метод Максвелла – Мора – це найзагальніший метод визначення переміщень стержньових систем.

Здебільшого при визначенні переміщень у балках, рамах та криволінійних брусах можна знехтувати впливом поздовжніх деформацій і деформацій зсуву, враховуючи лише переміщення, спричинені згинанням і крученням. При цьому для балок та плоских рам впливом поперечних та поздовжніх сил, як правило, нехтують і враховують лише згинальні моменти . Однак, визначаючи переміщення в балках, для яких відношення висоти перерізу до довжини прольоту поперечні сили враховувати обов’язково. При визначенні переміщень в рамах з великими зазначеними відношеннями похибка, спричинена неврахуванням інтегралів поздовжніх та поперечних сил, також може стати істотною. Слід мати на увазі, що в реальних балочних та рамних конструкціях величина відношення , як правило, менше за . Тому при обчисленні переміщень у загальній формулі Максвелла – Мора цілком допустимо зберегти інтеграл, що враховує лише згинальні моменти [1].

Тоді формула (1.1) для плоскої системі набирає вигляду

, (1.3)

і називається інтегралом Мора.

При просторовому навантажуванні, згідно з формулою (1.2),

(1.4)

При визначенні переміщень вузлів шарнірних ферм, що складаються з прямих стержнів, які працюють лише на розтягання – стискання у формулі Мора зберігається тільки один додаток:

(1.5)

Ця формула має назву формули Максвелла.

Можна запропонувати таку послідовність визначення переміщень за допомогою інтеграла Максвелла – Мора:

Будують допоміжну систему, яку навантажують одиничним навантаженням у точці, де треба визначити переміщення і в напрямку, в якому треба визначити переміщення. Визначаючи лінійні переміщення, у заданому напрямі прикладають одиничну силу, визначаючи кутові переміщення, - одиничний момент.

Для кожної ділянки системи записують вирази силових факторів у довільному перерізі заданої і допоміжної систем.

Обчислюють інтеграли Максвелла - Мора (по ділянках в межах всієї системи). Як вже зазначалося, при розрахунку плоских балок, рам і арок виходять з формули (1.3), просторових систем – (1.4), ферм – (1.5).

Якщо обчислене переміщення позитивне, то це означає, що його напрям збувається з вибраним напрямом одиничної сили. Негативний знак свідчить про те, що дійсний напрям переміщення, що визначається, протилежний напряму одиничної сили.