Визначення модуля Юнга пружних матеріалів.

Мета роботи: Визначити модуль Юнга методами розтягнення та вигину для різних матеріалів, які мають форми трубок і пластин.

Деформацією називають зміну форми та об’єму тіл під дією різних сил. В залежності від сил, які діють, розрізняють наступні види деформацій: розтягнення, стиснення, зсув, кручення, вигиб. Всіляка деформація пружного тіла супроводжується виникненням пружних напруг. Вони виникають внаслідок того, що зовнішня сила викликає зміщення одних частин відносно інших. Кожна частина тіла діє на оточуючі її частини, які , в свою чергу, чинять на неї рівну та протилежну дію. Таким чином через будь-яку площадку усередині тіла передається дія двох рівних та протилежних сил. Границя відношення сили до площини перетину , на яку вона діє, визначена за умови, що площа перетину прямує до нуля, називається напругою в даній точці тіла:

.

Напруги в різних точках тіла – різні, та тільки в деяких випадках можна вважати їх постійними у взятому перетині. В цьому випадку напруга рівна s =. При зміні зовнішньої сили, деформація, яка її викликає, також змінюється. При невеликих зовнішніх силах, тобто для пружних (малих) деформаціях спостерігається пропорціональність між зовнішньою силою та величиною деформації (закон Гука: , де k – коефіцієнт пружності, що залежить від матеріалу та фізичного стану тіла). Після закінчення дії зовнішньої сили деформація зникає, тобто тіло відновлює свою початкову форму та розміри. Це стадія пружних деформацій. При збільшенні деформуючої сили пропорційність порушується, деформація зростає швидше, причому після закінчення дії сили деформація зникає не повністю. Це стадія пластичних деформацій. Напругу, яка розмежовує стадії пружних та пластичних деформацій, називають межею пружності тіла. Деформація, яка зберігається після закінчення дії сили, називається залишковою. При ще більшому збільшені зовнішньої сили тіло можна зруйнувати. Напруга, вище якої тіло руйнується, називається межею міцності.

 

а) Визначення модуля Юнга по деформації розтягнення

Розглянемо випадок деформації розтягнення для тіла, яке має скрізь однакову товщину. Прикладом можуть бути металева нитка, дріт. Якщо верхній кінець такого тіла закріпити, а до нижнього підвисити тягар масою m, то тіло буде видовжуватися. Позначимо його початкову довжину через ,а абсолютне подовження через . За величину деформації приймемо відносне подовження . По закону Гука відносне подовження e пропорційне напрузі: e ~ s. З розмірковувань зручності коефіцієнт пропорційності вводять, як обернену величину Е, яка називається модулем Юнга. Вона вимірюється Н/м. На практиці зручно користуватися кг/мм. Закон Гука в цьому випадку записується у вигляді:

або .

З цієї рівності очевидно, що модуль Юнга рівний тій напрузі, яка б розтягнула тіло вдвічі () в порівнянні з початковою довжиною. Однак для більшості тіл це неможливо, так як такі напруги перевищують межу міцності. Модуль Юнга з врахуванням виразу для площі перетину дроту обчислюють за формулою:

,

де P = mg – сила, з якою розтягується досліджуваний зразок. Модуль Юнга характеризує пружні властивості і є важливою характеристикою тіл. Для знаходження модуля Юнга методом розтягнення використовується пристрій, який зображений на рис.6.

До досліджуваного зразку приєднана платформа, на яку послідовно кладуть гирі, в результаті чого змінюється натяг дроту. Індикатор відмічає збільшення довжини дроту. При проведенні досліду необхідно мати на увазі, що сталевий дріт при відсутності навантаження завжди трохи зігнута, що не може сказатися на результатах, особливо при великих навантаженнях. Випрямляти дріт шляхом збільшення початкової напруги небезпечно, бо це може призвести до невиконання закону Гука, тобто можуть виникнути залишкові деформації.

 

Порядок виконання роботи:

1. Встановити індикатор на нуль.

2. В процесі експерименту необхідно слідкувати за виконанням закону Гука (лінійного зв’язку між відносним подовженням та напругою). Для цього необхідно навантажити дріт одним з тягарів масою 0.5 кг, потім його забрати, відмічаючи кожен раз абсолютне подовження D. Повторити експеримент з двома, трьома, чотирма і п’ятьма гирями. Якщо довжина дроту не повертається в початковий стан, необхідно кожного разу аретирувати (встановлювати на нуль) індикатор.

3. Зняти залежності подовження сталевого дроту від її навантаження при зростаючому та спадаючому навантаженні.

4.Дані заносять до таблиці і обчислюють абсолютне подовження на 1 кг тягаря, а потім знаходять середнє значення цієї величини, яке разом з іншими величинами використовується для визначення модуля Юнга.

5.За допомогою мікрометра в декількох місцях (не менш 5 вимірів) вимірюють діаметр досліджуваного зразка. Обчислюють середнє значення і довірчий інтервал. При вимірюванні діаметру необхідно зве трути увагу на те, щоб не згинати дріт мікрометром.

6. Виміряти довжину дроту та знайти похибку її вимірювання.

7. Відносну похибку модуля Юнга визначають за формулою:

.

Тут і - довірчі інтервали, які знаходять, обробляючи прямі виміри, а D₀ – абсолютна погрішність вимірів довжини зразка лінійкою.

Для полегшення розрахунків результати вимірювання можна заносити в таблицю:

 

 

m, кг	навантаження	розвантаження
0.5	1.0	1.5	2.0	2.5	2.0	1.5	1.0	0.5
D, мм
D/P, мм/Н

 

 

б) Визначення модуля Юнга по деформації вигину

 

Якщо пружну пластинку чи трубу нерухомо закріпити одним кінцем у стіні, а інший кінець навантажити тягарем масою m, цей кінець буде опускатися, зразок вигибається. При вигині верхні шари розтягуються, нижні – стискуються, а середній шар, який називається нейтральним, зберігає свою довжину. Очевидно, що середня частина майже не чине опір вигину. Ця обставина враховується в техніці і знаходить відображення в природі. Наприклад, стержні, які працюють на вигиб, звичайно роблять порожніми, чим досягають економії матерії і полегшують конструкції без шкоди для міцності.

Переміщення l, яке отримує вільний кінець стержня, називають стрілою прогину. Стріла прогину буде тим більша, чим більше навантаження і, крім того, вона повинна залежати від форми і розмірів пластини і її модуля пружності. Можна показати, що для пластини, яка має довжину L, ширину а і висоту b, стріла прогину дорівнює , де Е – модуль Юнга, а mg – навантаження, яке прикладене до незакріпленого кінця. Якщо пластина буде обома кінцями покладена на тверді опори і навантажена в середині вантажем масою m (рис.7), то при розрахунку стріли прогину необхідно в формулу замість mg підставити mg/2, а замість L підставити L/2. Тобто пластина, яка опирається обома кінцями на опори, веде себе так, якби вона була закріплена посередині, а на кожен з кінців діяла б спрямована сила, яка дорівнює Р/2. Отже, стріла прогину дорівнює . З цієї формули знаходимо модуль Юнга для зразка у вигляді пластини

.

Пристрій для визначення модуля Юнга методом вигину являє собою масивну платформу с двома стійками на кінцях, на які поміщують досліджуваний зразок. Посередині на спеціальній штанзі закріплюють індикатор для визначення стріли прогину.

 

Порядок виконання роботи:

1. Штангенциркулем декілька разів (не менш п’яти) вимірюють довжину, ширину і висоту пластини. Розраховують середнє значення і довірчий інтервал цих величин.

2. Пластину посередині навантажити і розвантажити послідовно тягарями 0.5 кг, 1.0 кг, 1.5 кг, 2.0 кг, 2.5 кг і кожен раз визначають стрілу прогину індикатором. Перевірити, чи повертається пластина в початковий стан.

3.Дані заносять до таблиці і визначають величину стріли прогину на одиницю ваги () для кожного виміру, а потім розраховують середнє значення і довірчий інтервал.

4. Відносну похибку модуля Юнга визначають по формулі:

;

5. Перевірити, чи суттєво залежить результат від точки прикладення сили. Для цього змістити точку розташування важків на 5 мм від попередньої. Порівняти отримане значення модуля Юнга з попереднім, знайденим для навантаження, прикладеного до середини стержня.

 

Контрольні питання та завдання:

1.Які основні види деформацій ви знаєте?

2.Сформулюйте закон Гука.

3.Який фізичний зміст модуля Юнга? В яких одиницях він вимірюється?

4.Який механізм виникнення залишкової деформації?

5.Від чого залежить величина стріли прогину?