Похибки прямих вимірювань.

Нехай в результаті повторюваних вимірювань фізичної величини маємо послідовні значення

х_1, х₂, ..., х_j , ...,х_n.

Подамо результати n вимірювань, як відхилення виміряного від істинного значення фізичної величини x_іст (далі просто х), у вигляді

Dх₁ = х₁ –х; Dх₂ = х₂ –х; ... , Dх _j = х _j –х; ..., Dх _n = х _n –х.

Підсумовуючи члени та розділивши їх на кількість вимірювань, дістанемо

де – середнє арифметичне значення вимірюваної величини.

При великій кількості вимірювань випадкові відхилення Dх_і, однакові за модулями, але з різними знаками, зустрічаються однаково часто. Тому

Тоді х = . Отже при n → ∞ істинне значення фізичної величини дорівнює середньому арифметичному (звичайно, при цьому немає систематичних похибок).

У реальній метрологічній практиці число вимірювань n є скінченою величиною. Через це завдання теорії обробки результатів вимірювань зводиться до оцінки ступеня наближення вимірюваного значення до істинного.

Повне описання появи випадкових подій здійснюється за допомогою функції розподілу. Аналогічно використовується і функція розподілу випадкових похибок.

Досвід обробки результатів вимірювань показує, що розподіл похибок описується різними законами. Проте досить часто для опису розподілу випадкових похибок використовується нормальний закон розподілу (закон Гауса)

,

де – густина імовірності випадкової величини х, тобто імовірність віднесена до величини відповідного інтервалу Δх; Δх – відхилення від істинного значення; σ² – дисперсія генеральної сукупності. Генеральною сукупністю називається множина можливих значень вимірювань х_і або можливих значень похибок Dх_і.

Закон Гауса знаходить широке застосування в теорії похибок. Це зумовлено такими причинами:

1) для великої кількості вимірювань різні за модулем похибки зустрічаються однаково часто;

2) малі за модулем похибки зустрічаються частіше, ніж великі, тобто імовірність появи похибки тим менша, чим більше її абсолютне значення;

3) похибки вимірювань становлять неперервний ряд значень.

 

На рис. 1 наведено форму кривої Гауса для трьох значень σ. Початок координат розміщено в точці з нульовою похибкою. Для нормального закону розподілу є характерною його симетрія (при великій кількості вимірювань появи випадкових похибок, які рівні за розміром, але різні за знаком, - рівноймовірні) і монотонність зменшення густини імовірності (поява великих випадкових похибок малоймовірна). Права і ліва частини кривої Гауса асимптотично наближаються до осі абсцис.

Чим менше σ, тим вища крива розподілу і навпаки. Із збільшенням σ зростає розкид відліків, тобто точність вимірювання зменшується. Величина σ є основним параметром, який визначає вид кривої розподілу похибок вимірювання. Кожному з відліків відповідає точка по осі Δх.

Зміст функції Гауса такий. Площа фігури, обмеженої кривою Гауса, віссю х та прямими, паралельними вісі ординат, з координатами точок і (заштрихована площа на рис.1) чисельно дорівнює густині ймовірності з якою довільний вимір попадає в інтервал . Вся площа під кривою Гауса дорівнює одиниці.

Для оцінки величини випадкової похибки є кілька способів.

Найбільш поширеною є оцінка за допомогою середньої квадратичної (або стандартної) похибки (S_n)

Згідно з означенням

.

Якщо число вимірювань дуже велике, то випадкова величина S_n прагне до деякої сталої величини σ, яку називають статистичною границею S_n. :

Ця границя, власне, і є середньою квадратичною похибкою.

Для оцінки точності результату виміряного значення фізичної величини використовують такі характеристики: довірчий інтервал та граничну (надійну) похибку середнього арифметичного.

Довірчий інтервал – це інтервал (, ), який містить істинне значення х_іст виміряної фізичної величини х із заданою імовірністю α, яка називається надійною імовірністю (або коефіцієнтом надійності).

Надійністю результату серії вимірювань називають вірогідність того, що істинне значення х вимірюваної величини потрапляє в даний довірчий інтервал; виражається або в частках одиниці, або у відсотках.

Чим більше довірчий інтервал, тим з більшою надійністю шукана величина х потрапляє в цей інтервал. Природно, що величина залежить від числа n проведених вимірювань, а також від похибки, що задається .

Так, при вибираючи рівним , ми набудемо значення . Ймовірність того, що будь-яке значення вимірюваної величини буде лежати в інтервалах , дорівнює, відповідно 95% і 99%. Значення 0,99 рекомендується брати для випадків, коли вимірювання не можна повторити.

Таким чином, величина характеризує ступінь впливу випадкових похибок на результати вимірювання: чим менше, тим точніше проведене вимірювання.

Обробка результатів серії вимірювань зводиться до можливо точнішого знаходження і . Величину звичайно приймають за граничну абсолютну похибка окремого вимірювання (іноді замість беруть абсолютну похибка вимірювального приладу).

Якщо при вимірюванні абсолютна похибка більша за , то це вимірювання слід віднести до грубих похибок або промаху. Величину , звичайно, приймають за граничну абсолютну похибку окремого вимірювання.

Оскільки неможливо виконати дуже велике число вимірювань, то виникає питання: як змінюється надійність при зміні числа вимірювань? Залежність ця складна і не виражається в елементарних функціях. Існують спеціальні таблиці коефіцієнтів Стьюдента, по яких можна визначити, в скільки разів потрібно збільшити стандартний довірчий інтервал, щоб при певному числі вимірювань n одержати задану надійність (табл. 1).

Оцінка стандартного відхилення проводиться за формулою:

 

Тоді Δ – гранична похибка, яка дорівнює половині надійного інтервалу, розраховується за формулою

 

,

де – нормований коефіцієнт Стьюдента, який залежить від надійної імовірності та кількості вимірювань.

Результати вимірювань записуються у вигляді

 

Таблиця 1. Таблиця коефіцієнтів Стьюдента

Число вимірювань	Надійність
0.5	0,6	0,7	0.8	0.9	0,95	0.98	0.99
	1,00	1,38	2,0	3,1	6,3	12.7	31,8	636,6
	0,82	1,06	1,3	1,9	2,9	4,3	7,0	31.6
	0,77	0,98	1,3	1.6	2.4	3,2	4,5	12,9
	0,74	0,94	1,2	1,5	2,1	2,8	3.7	8,6
	0,73	0,92	1,2	1,5	2,0	2.6	3,4	6,9
	0,72	0.90	1.1	1.4	1.9	2.4	3,1	6,0
	0,71	0,90	1,1	1,4	1,9	2,4	3,0	5,4
	0.71	0,90	1,1	1,4	1.9	2,3	2,9	5,0
	0.70	0.88	1.1	1,4	1,8	2,3	2,8	4,8
	0,69	0,87	1.1	1.3	1,8	2.1	2,6	4,1
	0.69	0,86	1.1	1.3	1.7	2.1	2.5	3.9
	0,67	0,84	1,0	1,3	1,6	2,0	2,3	3,3

 

Декілька зауважень про розподіл Стьюдента. Як уже відмічалось, розподіл Стьюдента справедливий для малого числа вимірювань n ³ 2, що характерно як для техніки, так і для наукових досліджень. Із зростанням числа вимірювань розподіл Стьюдента прагне до нормального розподілу (фактично при n > 20). Математичного виразу розподілу Стьюдента ми не наводимо, зважаючи на його складність.

Характерним для розподілу Стьюдента є його незалежність від параметрів та σ нормальної генеральної сукупності, а також можливість оцінки при невеликомучислі вимірювань n < 20 похибки Δх = – х_і за заданою надійною ймовірністю α або знаходження надійності вимірювання за заданим значенням Δх.

Розподіл Стьюдента дає також змогу встановити, що при досить великому n середнє арифметичне значення з імовірністю, як завгодно близькою до вірогідності, доволі мало відрізняється від істинного значення х.

Порядок обробки результатів вимірювань наступний:

- виконують n вимірювань і записують їх результати в таблицю;

- обчислюють ;

- обчислюють і знаходять по таблиці коефіцієнт Стьюдента залежно від заданої надійності і числа вимірювань n.

Результат записують у вигляді

.

Це означає, що істинне значення вимірюваної величини знаходиться в інтервалі [] з надійністю .

Мірою точності результатів вимірювань є відносна похибка (в %):

·100%.

Зворотну їй величину називають точністю вимірювань.

Використовуючи таблицю коефіцієнтів Стьюдента, часто вирішують і зворотну задачу: по відомій абсолютній похибки вимірювального приладу і заданій величині надійності визначають необхідне число вимірювань в серії.

Приклад. Нехай проведено 6 вимірювань товщини пластинки штангенциркулем. Результати вимірювань наведено в табл. 2. Провести обробку результатів вимірювання при α = 0.95.

Обробку результатів виконуємо у такій послідовності:

а) вважаємо, що систематичних похибок немає;

 

Таблиця 2. Результати вимірювання

Номер спостереження	Результати спостереження, dj , мм	Відхилення від середнього арифметичного, Δdі , мм	Квадрат відхилення від середнього арифметичного Δdj 2, мм2
	30.1	+0.1	0.01
	30.0	–	–
	30.1	+0.1	0.01
	29.8	–0.2	0.04
	29.9	–0.1	0.01
	30.1	+0.1	0.01

 

б) обчислюємо середнє арифметичне = 30,0 мм

в) обчислюємо значення Δd_і , Δd_і² і записуємо їх у таблицю;

г) обчислюємо оцінку середнього квадратичного відхилення результату спостереження:

.

Максимальна можлива похибка S_dmax . Її ми беремо такою, що дорівнює 3S_d (за правилом трьох сигма вважають, що значення 3σ є межею випадкового відхилення спостереження або просто максимальним відхиленням; йому відповідає імовірність α = 0,997 (практично дорівнює одиниці); зважаючи на це, одним з критерію промаху є значення відхилення окремого спостереження, більше 3 σ). Отже, результати всіх шести спостережень слід вважати надійними, оскільки вони задовольняють правило трьох сигма, і промахів немає;

д) обчислюємо оцінку середнього квадратичного відхилення результату вимірювання за формулою

;

е) обчислюємо надійні межі випадкової похибки результату вимірювання при α = 0.95.

При n = 6 і α = 0.95 коефіцієнт Стьюдента – 2.57. Тоді Δd = 2.57· 0.04 ≈ 0.1 мм.

Результат вимірювань записуємо у вигляді d = 30.0 ± 0.1 мм.

Відносна похибка

.

Якщо ж зроблено тільки одне вимірювання, то точність вимірювання фізичних величин в цьому разі (якщо воно виконано ретельно) характеризується точністю вимірювального приладу.