Закони розподілу випадкової величини

Законом розподілу випадкової величини називається співвідношення, що встановлює зв'язок між можливими значеннями випадкової величини і відповідними їм вірогідностями.

Найпростішою формою завдання такого закону служить таблиця, в якій перераховані можливі значення випадкової величини і відповідні їм ймовірності.

Таблиця 2.3-Значення випадкової величини і відповідні їм ймовірності

Х1	Х2	Х3	...	Хn	Разом
Р1	P2	P3	...	Pn	=1

Щоб надати ряду розподілу наочний вигляд, будують його графічне зображення у вигляді гістограми, полігону, кумуляти і огіви.

Табличний розподіл можливих значень випадкової величини і відповідних їй ймовірностей, графічне зображення кривих розподілу і аналітичний опис вказаної залежності є форми закону розподілу.

Криві розподілу можуть бути самої різної форми. Проте серед них слід виділити так звані одновершинні криві, що часто зустрічаються.

В економічних дослідженнях симетричні розподіли зустрічаються рідко. Набагато частіше вершина кривої знаходиться не в центрі, а дещо зміщена. Зустрічається також двопіковий розподіл. Його наявність свідчить про те, що розглядається неоднорідна сукупність.

Теоретичними розподілами в економічних дослідженнях головним чином закон є Пуассона, показовий, біномінальний, Стьюдента, - квадрат, Лапласа, нормальний та ін.

Нормальний закон розподілу реалізується для випадкових величин, які формуються під сумарною дією багатьох незалежних поміж собою дрібних причин, дія кожної з яких мала в порівнянні із загальним результатом.

У математичній статистиці нормальний розподіл відіграє роль стандарту, з яким порівнюються інші розподіли.

Формула нормальної кривої має наступний вигляд:

, (2.15)

де Х - випадкова величина;

- середнє арифметична або математичне очікування;

σ_х - середнє квадратичне відхилення;

π =3,14159, е=2,71828 - відомі константи.

Крива Гаусса - Лапласа має горбоподібний вигляд і симетрично розташовується відносно вертикальної прямої. Центр угрупування випадкової величини і форму нормальної кривої визначають числові характеристики і σ_х.

При Х= функція має максимум, рівний

. (2.16)

Симетрія кривої Х=вважається основною властивістю нормального розподілу: однакові відхилення значення випадкової величини від її середнього в обидві сторони зустрічаються однаково часто.

 

 

Рис. 2.1 - Крива Гаусса - Лапласа

При збереженні своєї загальної форми крива розподілу нормального закону може мати різний ступінь пологості й крутизни залежно від значення σ_х.

У математико-статистичних дослідженнях, незалежно від розмірності випадкової величини Х, може бути визначена відносна частота.

По правому 3σ величина абсолютного відхилення випадкової величини від середнього по вибірці менше ± 3σ_х з вірогідністю 0,997. Лише 0,3% всього Хi числа спостережень виходить з "трисигмових меж". В інтервалі від Х-σ_х до Х+σ_х знаходиться 68,3% спостережень, в інтервалі від Х-2σ_х до Х+2σ_х - 95,5% спостережень. Як було сказане вище, максимум

. (2.17)

Оскільки площа диференційованої функції нормального розподілу дорівнює одиниці, то зі зростанням σ_х максимальна ордината нормальної кривої убуває, а сама крива стає більш пологою. Навпаки, з убуванням σ_х нормальна крива стає більш гостроверхою.

При =0 і ух=1 нормальну криву називають нормованою:

. (2.18)

Величина табульована і може бути визначена з відповідних математико-статистичних таблиць (диференціальна функція Лапласа). У цих таблицях наведені функції f (х), відповідні позитивним значеннях Х. Для від’ємних Х користуються тими ж таблицями, оскільки функція f (х) парна, тобто f (-х)=f (x). У таблиці наводяться значення f (х) для Х від 0 до 4 через 0,01.

Для того, щоб можна було користуватися готовими таблицями, потрібно криву нормального розподілу привести до стандартної форми. Стандартизація полягає в переході від випадкової величини Х, має математичне очікування і середньоквадратичне відхилення σ_х, до допоміжної величини називаної центрованим і нормованим відхиленням:

t=чи ∆Х=t σ_х (2.19)

Використовуючи відповідні таблиці значень, будують таблицю стандартизованого розподілу вірогідності.

Якщо на вісь абсцис нанести значення t, а на вісь ординат вірогідність P(t), то графічне зображення дає нормальну криву. Фізичне значення t означає, на скільки середньоквадратичних відхилень σ_х змінюється значення випадкової величини від її середнього значення .