Оптимальная скорость обслуживания m

 

Рассмотрим одноканальную модель массового обслуживания со средней частотой поступления требований, равной l, и со средней скоростью обслуживания, равной m. Предполагается. Что скорость обслуживания поддается регулированию; требуется определить ее оптимальное значение на основе надлежащим образом построенной стоимостной модели. Введем следующие обозначения:

С₁ - выражения в стоимостной форме выигрыш за счет увеличения на единицу значения m в течение единичного интервала времени;

С₂ - "цена" ожидания (т.е. обусловленные вынужденным ожиданием экономические потери) в единицу времени и в расчете на одно требование;

ТС(m) - стоимостный показатель, определяемый формулой

ТС (m)=С₁m+ С₂L_S.

Следует отметить, что затраты на обслуживание, отнесенные к единице времени, прямо пропорциональны m, а затем в единицу времени, обусловленные пребыванием заявок на обслуживание в режиме ожидания, равняются среднему значению числа требований, находящихся в СМО, умноженному на "цену" ожидания, определенную в расчете на одно требование и отнесенную к единице времени.

Поскольку m является величиной непрерывной, ее оптимальное значение может быть получено путем приравнивания к нулю первой производной ТС (m) по m. Например, для частного случая (М/М/1):(GD/¥/¥) - процесса

и, следовательно, для оптимального значения m имеем

В ситуации, когда в блоке ожидания обслуживающей системы может находиться не более N клиентов, т.е. если имеет место (М/М/1):(GD/N/¥)- процесс, стоимостную модель можно видоизменить, с тем чтобы за счет увеличения значения N уменьшить число клиентов, которых СМО может потерять. В данном случае величина N рассматривается как управляющая переменная, оптимальное значение которой (вместе с m) определяется путем минимизации

где С₃- "стоимость" увеличения (на единицу времени) вместимости блока ожидания обслуживающей системы, а С₄-экономические потери, связанные с невозможностью включить в блок ожидания системы еще одного нуждающегося в обслуживании клиента. Заметим, что lр_N есть число клиентов, потерянных системой в единицу времени.

Пример. Вычислительный центр коллективного пользования располагает большой электронно-вычислительной машиной (ЭВМ) с разветвленной системой считывающих и быстропечатающих устройств. Один из пользователей хочет определить оптимальную скорость (число перфокарт в минуту) считывающего устройства. Потребности в работе с ЭВМ возникают у пользователей случайно, так что входной поток заявок на обслуживание электронно-вычислительными средствами характеризуется пуассоновским законом распределения вероятностей; отметим, что средняя пропускная способность вычислительного центра составляет 50 программ в течение 8-ми часового рабочего дня. Пусть средний размер программы таков, что она уменьшается на одной тысяче перфокарт. Опыт показывает, что распределение продолжительностей считывания записанных на перфокартах программ является экспоненциальным. По оценкам клиентуры просрочка в выполнении заявленной потребностей в работе с ЭВМ на один день обходится в 10 долл. Вычислительный центр при планировании своей месячной пропускной способности исходит из того, что плата за увеличение пропускной способности считывающего устройства на сотню перфокарт в минуту составляет 100 долл.

Нетрудно убедиться, что скорость считывания, равная 100 перфокартам в минуту, эквивалентна 100*8*60=48000 перфокарт в день, или 48000/1000=48 программно-вычислительных реализаций в день. Полагая, что количество рабочих дней в одном месяце равняется 22, устанавливаемое на месяц указанное выше повышение быстродействия считывающего устройства обходится клиентуре 100 долл./22=4,55 долл. В день. Поскольку именно такое повышение быстродействия считывающего устройства позволяет ежедневно реализовать на ЭВМ на 48 процедур больше. Плата за реализацию одной дополнительной процедуры равняется 4,55 долл./48=0,0948 долл. Используя введенные выше обозначения, имеем С₁ =0,0948 долл. Поскольку С₂=10 долл. За одну процедуру в день, а l=50 процедур день, получаем оптимальное значение m:процедуры в день.

Переводя этот показатель в количество перфокарт в 1 мин, находим, что оптимальное значение пропускной способности считывающего устройства равняется (123*1000)/(8*60)=256 перфокарт в 1 мин.