Реферат Практическое применение теории массового обслуживания 1 Основные элементы ТМО

Министерство образования и науки РФ

Санкт-Петербургский педагогический университет им. А.И.Герцена

Факультет управления

Направление подготовки туризм

Кафедра социального менеджмента

 

 

Реферат

 

Практическое применение теории массового обслуживания

 

Выполнил:

Студентка I курса

Мартьянова А.Г.

Преподаватель:

Кандидат физико-математических наук доцент

Светлаков А.Н.

 

 

г. Санкт-Петербург, 2013

СОДЕРЖАНИЕ

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

1 Основные элементы ТМО. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Виды систем массового обслуживания . …………..... . . . . . . . . . . . . . . .9

2.1 Системы массового обслуживания при наличии входного и

выходного потоков .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

2.1.1 Система массового обслуживания типа (M/M/1):(GD/¥/¥)… . . . . . .13

2.1.2 Система массового обслуживания типа (M/M/1):(GD/N/¥)…. . . . . . 16

2.1.3 Система массового обслуживания типа (M/M/c):(GD/¥/¥)… . . . . . .19

3 Принятие решений с использованием моделей массового

обслуживания……………………… . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.1 Методы разработки математических моделей в СМО . . . . . . . . . . . . .22

3.2 Подготовка исходных данных и проверка статистических гипотез. ... 22

3.3 Модели со стоимостными характеристиками . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26

3.3.1 Оптимальная скорость обслуживания m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.3.2 Оптимальное число обслуживающих приборов. . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.4 Моделирование с учетом предпочтительности уровня обслуживания.32

3.5 Линейный способ решения СМО ……………………………………….30

Заключение …………………………………………………………………...33

Список использованной литературы . . . . .. . . . . . . . . . .. . . .. . .. . . .. . . .. . .34

Приложение А. Решение СМО методом ЗЛП . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35

Список сокращений ………………………………………………………….37

 

Введение

 

Теория массового обслуживания (ТМО) представляет собой прикладную математическую дисциплину, занимающуюся исследованием показателей производительности технических устройств или систем массового обслуживания (СМО), предназначенных для обработки поступающих в них заявок на обслуживания заявок.

Для того чтобы понять необходимость ТМО и те последствия, к которым приводит игнорирование случайностей при расчете показателей обслуживания СМО, рассмотрим простейший пример. Пусть на некоторое обслуживающее устройство или обслуживающий прибор поступает поток заявок. Допустим, путем длительных наблюдений мы установили, что среднее число поступающих на прибор заявок постоянно и равно 6 в час. Спрашивается, какую производительность должен иметь прибор, чтобы успешно справляться с поступающим на него потоком заявок? Сам собой напрашивается ответ: прибор должен обслуживать в среднем 6 заявок в час или каждую заявку за 10 мин. Конечно, осторожный проектировщик всегда сделает небольшой запас, скажем, в 10% на всякие непредвиденные обстоятельства и предложит производительность прибора, соответствующую обслуживания одной заявки за 9 мин. Дальнейшее увеличение производительности прибора вряд ли целесообразно, поскольку тогда он будет большую долю времени простаивать. Итак, ответ готов: прибор должен обслуживать заявку в среднем за 9 мин. При этом заявки перед прибором не должны накапливаться, а сам прибор в среднем 6 мин каждый час будет простаивать.

Однако на практике весьма быстро было подмечено следующее обстоятельство. Да, прибор действительно был свободен 10% времени. Но в очень многих случаях перед прибором возникала весьма значительные очереди. В частности, при пуассоновском входящем потоке и экспоненциальном обслуживании при таких исходных данных в среднем перед обслуживающим прибором скапливается очередь из 8 заявок. Поиски причин этого явления выявили и виновника: им оказался именно элемент случайности в поступлении и обслуживании заявок.

Дальнейший ход событий предсказать не трудно. Раз виноваты случайные явления, а случайными явлениями занимается теория вероятности, то необходимо для анализа СМО применять методы этой дисциплины. Таким образом, сформировался еще один раздел теории ве6роятности - теория массового обслуживания. Родоначальником ТМО считается сотрудник Копенгагенской телефонной компании известный датский ученный А. К. Эрланг, который первым предположил для описания процессов, происходящих в СМО, использовать марковские процессы с дискретным (конечным или счетным) множеством состояний. Это нетрудно понять, если учесть, что основным практическим потребителем результатов ТМО были телефонные сети, а к настоящему времени добавились сети передачи данных, информационно-вычислительные сети и т.д.

Пик своего развития ТМО достигла в 50-70-е годы. Затем интерес к ТМО несколько ослабел. Это было связано с несколькими причинами, например, математической. Здесь нужно отметить, что, с одной стороны, характерной особенностью задач ТМО является необходимость почти для каждой СМО искать собственные методы исследования, а с другой - большой интерес исследователей к ТМО привел к тому, что задачи, допускающие простые решения, особенно в вычислительном плане, уже были решены. Кроме того, у аналитических методов появился серьезный конкурент - имитационное моделирование.

Однако в последнее время снова возродился интерес к задачам ТМО, обусловленный не только новыми проблемами, возникшими в практической жизни и особенно в областях, связанных с разработкой и применением вычислительной техники, но и новыми математическими подходами к их решению. Одним из таких подходов является алгоритмический подход, возникший в связи с широким применением вычислительной техники, в частности, персональных компьютеров в научных исследованиях, и предлагающий получение решений задач ТМО в виде тех или иных вычислительных алгоритмов. Алгоритмический подход, проигрывая традиционным аналитическим методам в наглядности полученных результатов, возможности их использования в задачах оптимизации и т. п., тем не менее, обладает и несомненным преимуществом, которое заключается в его ориентации на создание, в конечном итоге, комплексов и пакетов прикладных программ и таблиц, что в практической жизни часто оценивается гораздо выше даже очень "красивых" формул.

 

1. Основные элементы ТМО

 

Многие понятия теории массового обслуживания можно проиллюстрировать на одном важном примере: взлет и посадка самолетов в крупном аэропорту - операция, представляющая интерес для многих людей, пользующихся этим видом транспорта.

Допустим, что аэропорт имеет несколько взлетно-посадочных (параллельных каналов). Эти полосы ведут к большему или меньшему числу дорожек, оканчивающихся на аэровокзале (последовательные каналы). После того как самолет, прибывший в соответствии с определенным распределением входящего потока, приземляется, он присоединяется к очереди самолетов, ожидающих обслуживания (продвижение по дорожке к месту выгрузки). Таким образом, выходящий поток одной очереди становится входящим потоком для другой. Очередь существует как на земле (взлет самолетов), так и в воздухе (посадка самолетов). Обе эти очереди имеют свое распределение входящего потока. Приземляющиеся самолеты могут прибывать группами, при этом члены каждой группы должны кружить над аэропортом и приземлятся по порядку. (Если полоса очень широкая, то нетрудно представить посадку самолетов группами.) Длительность операций обслуживания (время приземления или взлета) около минуты. В любом случае имеется некоторое распределение времени обслуживания. Если для различных типов самолетов отведены различные взлетно-посадочные полосы, которые могут быть длиннее, например, для реактивных самолетов, то распределение времени обслуживания может меняться от одной полосы к другой.

При выборе самолетов для посадки важно определить соответствующий показатель эффективности. Например, если желательно минимизировать общее время ожидания пассажиров, то вначале нужно производить посадку самолетов с большим количеством людей.

Здесь же часто производится обслуживание с приоритетом, когда разрешается посадка снижающемуся самолету раньше, чем взлет ожидающемуся. Эта система с приоритетом распространяется также на случай аварийной обстановки, когда вследствие крайней необходимости разрешается посадить первым самолет, прибывший позже. Нередко приоритет на посадку дается реактивным самолетам из-за ограниченного запаса топлива.

Иногда порядок обслуживания таков, что прибывающий самолет присоединяется к очереди эшелонированных самолетов, ожидающих посадки, а затем выбор самолета на посадку производится случайным образом (одна из форм обслуживания с приоритетом). Так, например, если самолет находится ближе других к точке, в которой он может выйти из зоны ожидания, то ему будет дана команда на посадку. В промежутке времени между получением приоритета на посадку и командой "посадку разрешаю" самолет выходит из эшелона и направляется к аэродрому. Это время известно как захода на посадку. Время приземления затрачивается на операцию посадки и продолжается до того момента, когда самолет сворачивает с взлетно-посадочной полосы.

Самолет, ожидающий посадки, может, находится в положении, близком к критическому (в это время другие самолеты будут действительно в критическом положении), он может принять решение присоединится к более короткой очереди в ближайшем аэропорту и приземлится там. Прибывающий самолет может не выстраиваться в эшелон, а уходить в другой аэропорт (отказ становится в очередь). В этом случае говорят, что аэропорт "потерял" этот самолет. Случается, что самолет отправляется в соседний аэропорт после того, как, присоединившись к очереди, он прождал больше, чем предполагалось (по кидание очереди до начала обслуживания). Можно рассматривать приземляющийся самолет участвующим в цикле, если он присоединяется к очереди самолетов, ожидающих взлета, и снова включается к очереди самолетов, ожидающих взлета, и снова включается во входной поток системы. Если приземляющийся самолет имеет информацию о размерах очереди эшелонированных самолетов, ожидающих посадки в соседнем аэропорту, то он может присоединится к этой очереди. Если у него есть информация еще об одном аэропорте, то он может отправится и туда (редкий случай). Это движение туда и обратно при наличии нескольких очередей называется переходом из одной очереди в другую (возможность выбора очереди).

Аэропорт может временно закрываться, и прибывший самолет будет вынужден отправится в другой аэропорт, если число эшелонированных самолетов, ожидающих посадки, достигнет заданной величины. Операция обслуживания может быть ускорена путем оборудования специальных гасителей скорости, которые позволяют самолетам приземлятся на главной полосе с большой скоростью.

Основной проблемой пи управлении аэропортом является связь. Если входящий поток как на земле, так и в воздухе велик, то аэропорт должен быстро связываться с самолетами и получать ответ. При организации связи важной проблемой является определение числа операторов и каналов связи, необходимых для регулирования различных состояний перегруженности, которые могут возникнуть. В данном случае необходимо выбрать оптимальное число каналов для обслуживания требований, поступающих в соответствии с данным распределением. Можно произвести сравнение стоимость дополнительного канала со стоимостью возросшего объема обслуживания существующими каналами.

Важной проблемой является наличие соответствующего места для ожидания в очереди. Например, при проектировании аэропорта существенным моментом является наличие наземной рулежной дорожки для самолетов, готовых к влету.

Во многих задачах ТМО для определения необходимого показателя эффективности достаточно знать распределение входящего потока, дисциплину очереди (например, случайный выбор, обслуживание в порядке поступления или с приоритетом) и распределение времени обслуживания. В других задачах нужно иметь дополнительную информацию. Например, в случае отказов в обслуживании нужно определить вероятность того, что поступившее требование получит отказ сразу после прибытия или через некоторое время, т.е. покинет очередь до или после присоединения к ней.

С теоретической точки зрения очередь можно рассматривать как потоки, походящие через систему пунктов обслуживания, соединенных последовательно или параллельно. На поток оказывают влияние различные факторы; они могут замедлять его, приводить к насыщению и т.д.

 

2. Виды систем массового обслуживания

 

Системы массового обслуживания при наличии входного и выходного потоков

Обслуживающая система Блок обслуживания Очередь

Принятие решений с использованием моделей массового обслуживания

 

Методы разработки математических моделей в СМО

 

Трудности использования стандартных моделей, разработанных в ТМО, можно преодолеть одним из следующих способов. Во-первых, можно модифицировать структурно-функциональные характеристики обслуживающей системы так, чтобы чисто логическим путем достичь желательных операционных показателей этой системы и одновременно сделать рассматриваемую СМО поддающейся анализу одной из стандартных математических моделей. Во-вторых, можно признать справедливым некоторые упрощающие предположения относительно реальной обслуживающей системы и, следовательно, возможно представить ее с помощью математической модели без риска получить существенные ошибки в численных оценках операционных характеристик исследуемой системы. Второй из указанных способов представляет собой более перспективным, поскольку за счет его реализации увеличивается круг задач, решение которых может быть обеспеченно путем использования разработанных в ТМО математических моделей и методов.

 

Подготовка исходных данных и проверка статистических гипотез

1. Когда осуществлять наблюдение за системой? 2. Каким образом систематизировать данные? В большинстве случаев СМО характеризуются так называемыми периодами повышенной загруженности, когда интенсивность…

Модели со стоимостными характеристиками

а) прибылью, получаемой за счет предоставления услуг; б) потерями прибыли, обусловленными задержками в предоставлении услуг. Первый показатель ассоциируется со степенью функциональной активности СМО, тогда как второй- с пребыванием…

Оптимальная скорость обслуживания m

Рассмотрим одноканальную модель массового обслуживания со средней частотой поступления требований, равной l, и со средней скоростью обслуживания,… С1 - выражения в стоимостной форме выигрыш за счет увеличения на единицу… С2 - "цена" ожидания (т.е. обусловленные вынужденным ожиданием экономические потери) в единицу времени и в…

Оптимальное число обслуживающих приборов

где С1 - отнесены к единице времени затраты на обеспечение функционирования…

Моделирование с учетом предпочтительности уровня обслуживания

В мультиканальной модели задача заключается в определении оптимального значения числа обслуживающих приборов с с учетом того, что… Выражение для Х имеет вид

Линейный способ решения СМО

Пример. В полосе обороны обнаружено 180 различных объектов противника, которые подлежат уничтожению. Все они могут быть сведены в три типовые группы…    

Решение.

Целевая функция и система ограничений:      

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данном курсовом проекте представлена тема "Системы массового обслуживания". Системы массового обслуживания имеют огромное практическое…  

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

 

1. Лукин А.И. Системы массового обслуживания - М.: Высшая школа,1980.

2. Саати Т.Л. Элементы теории массового обслуживания и ее приложения- М.: 1971.

3. Саульев В.К. Математические модели теории массового обслуживания – М.: 1979.

4. Таха Х. Введение в исследование операций. –М.: Мир, 1985.

Приложение А.

Решение СМО методом ЗЛП

  СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ