Проверяем единицу измерения полученной величины

 

 

Пример 9. Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону, выраженному формулой = 10 + 20t - 2t². Найти по величине и направлению полное ускорение точки, находящейся на расстоянии 0,1 м от оси вращения, для момента времени t = 4 c.

Дано: = 10 + 20t - 2t²; r = 0,1 м; t = 4 c.

Найти: , , .

Решение. Полное ускорение точки, движущейся по кривой линии, может быть найдено как геометрическая сумма тангенциального и нормального ускорений.

 

(1)

 

Тангенциальное и нормальное ускорение точек вращающегося тела выражается формулами:

 

(2)

 

(3)

 

где - угловая скорость тела; - угловое ускорение тела; - расстояние точки от оси вращения.

Подставляя выражения (2), (3) в (1), находим

 

(4)

 

Угловая скорость вращающегося тела равна первой производной от угла поворота по времени

 

В момент времени t = 4с угловая скорость

 

= (20 - 4•4) с^-1 = 4 с^-1.

 

Угловое ускорение вращающегося тела равно первой производной от угловой скорости по времени

 

 

Это выражение углового ускорения не содержит времени, следовательно, угловое ускорение имеет постоянное значение. Подставляя найденные значения и в формулу (26 ), получим

 

 

Направление полного ускорения определяется углами, которые вектор ускорения образует с касательной к траектории или с нормалью к ней

 

(5)

 

(6)

 

Найдем по формулам (2), и (3) значения и :

 

= - 4 • 0,1 = - 0,4 м/с²;

 

= 4² • 0,1 = 1,6 м/с².

 

Подставим эти значения в формулы (5), (6)

 

Пользуясь тригонометрическими таблицами, находим значения искомых углов

 

=76⁰; =14⁰.