Предел функции

Понятия предела функции двух (и более) переменных и непрерывности вводится аналогично понятию предела и непрерывности функции одной переменной.

Определение. Расстоянием от точки М₁(х₁, у₁) до точки М₂(х₂, у₂) назо-

вем число: .

Определение.d-окрестностью точки М₀(х₀, у₀) назовем множество всех

точек М(х, у) плоскости, таких, что r(М, М₀) < d.

Геометрически d-окрестность точки М₀ – это все внутренние точки круга с центром М₀ и радиусом d (рис. 4).

Пусть функция z = f(х, у) определена в не-

которой окрестности точки М₀(х₀, у₀), кроме быть

может, самой этой точки.

Рис. 4

Определение. Число bназывается пределом функции z = f(х, у) в точке

М₀(х₀, у₀),если для любого сколь угодно малого положи-

тельного числа > 0 существует d > 0 такое, что для всех

точек М(х, у) Î D(z), отличных от точки М₀ и удовлетво-

ряющих неравенству r(М, М₀) < d выполняется неравен-

ство │f(х, у) – b│ < .

Записывается так или .

Из определения следует, что если предел существует, то он не зависит от пути, по которому точка М стремится к точке М₀.