рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Информатика
/
Формулы логики предикатов

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Формулы логики предикатов

Формулы логики предикатов - раздел Информатика, ПРОГРАММА КУРСА МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ТЕРИЯ АЛГОРИТМОВ Большинство Определений Этого Параграфа Будут Индуктивными. Введем П...

Большинство определений этого параграфа будут индуктивными.

Введем понятие атомарной формулы сигнатуры Σ:

1) если t₁, t₂, T(Σ), то t₁=t₂ ‑ атомарная формула;

2) если P⁽ⁿ⁾ Σ ‑ предикатный символ, t₁,t₂,…,t_n T(Σ), то Р(t₁,t₂,…,t_n) ‑ атомарная формула;

3) никаких атомарных формул, кроме построенных по пп. 1, 2, нет.

Формула сигнатуры Σ определяется следующим образом:

1) атомарная формула сигнатуры Σ есть формула сигнатуры Σ;

2) если φ, ψ – формулы сигнатуры Σ, то ¬φ, (φ∧ψ), (φ∨ψ), (φ→ψ), xφ, xφ – формулы сигнатуры Σ;

3) никаких формул сигнатуры Σ, кроме построенных по пп. 1, 2, нет.

Символы , , использованные в определении, называются соответственно квантором всеобщности и квантором существования и читаются "для любого" и "существует". Все соглашения относительно расстановок скобок, принятые в алгебре высказываний, остаются в силе и для формул логики предикатов. Кроме того, вместо записей x₁… x_nφ и x₁… x_nφ будем часто использовать записи x₁,…,x_nφ и x₁,…,x_nφ.

Определим подформулы формулы φ сигнатуры Σ:

1) если φ ‑ атомарная формула, то φ ‑ ее единственная подформула;

2) если φ имеет вид ¬φ₁, или xφ₁, или xφ₁, то подформула формулы φ – это либо φ, либо подформула формулы φ₁;

3) если φ имеет вид φ₁∧φ₂, или φ₁∨φ₂, или φ₁→φ₂, то подформула формулы φ ‑ это либо φ, либо подформула формулы φ₁, либо подформула формулы φ₂;

4) других подформул формулы φ, кроме построенных по пп. 1, 2, 3, нет.

Пример 4. Пусть Σ={F⁽²⁾,P⁽¹⁾}, φ= x( y(x=F(z,y))∨P(z)) ‑ формула сигнатуры Σ. Тогда x( y(x=F(z,y))∨P(z)), y(x=F(z,y))∨P(z),

y(x=F(z,y)), x=F(z,y)), P(z) ‑ все подформулы формулы φ.

Говорят, что вхождение переменной х в формулу φ связано в φ, если оно находится в терме или предикате подформулы формулы φ вида xψ или xψ; в противном случае это вхождение называется свободным в φ. Переменная х называется свободной (связанной), если некоторое вхождение х в φ свободно (связано).

Пример 5. Пусть S={P₁⁽¹⁾,P₂⁽²⁾}. Рассмотрим формулы:

1) P₁(x);

2) Р₂(x,y)→ xP₁(x);
3) x(P₂(x,y)→P₁(x)).

Переменная х в первой формуле является свободной, во второй – и свободной, и связанной, в третьей – связанной; переменная у во всех формулах свободна.

Пример 6.Выписать все подформулы формулы φ, определить все свободные и связанные переменные этой формулы:

φ x z y(x<y+z) ((z∙2=u)→ u(u=x+z)).

Решение. Выпишем подформулы формулы φ:

1) x<y+z,

2) y(x<y+z),

3) z y(x<y+z),

4) x z y(x<y+z),

5) z 2=u,

6) u=x+z,

7) u(u=x+z),

8) (z 2=u)→ u(u=x+z),

9) φ.

Поскольку существуют связанные и свободные вхождения переменных х, u и z в формулу φ, то х, u и z являются связанными и свободными переменными. Переменная y связанная.

Предложением или замкнутой формулой сигнатуры Σ называется формула сигнатуры Σ, не имеющая свободных переменных.

Запись φ(x₁,…,x_n) будет означать, что все свободные переменные формулы φ содержатся в множестве {x₁,…, x_n}.

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

ПРОГРАММА КУРСА МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ТЕРИЯ АЛГОРИТМОВ

Логика это наука о законах мышления Это одна из древнейших наук Основные законы логики были сформулированы еще древнегреческим мыслителем... Современная математическая логика определяется как раздел математики... Данное учебно практическое пособие соответствует учебной программе курса Математическая логика и теория алгоритмов...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Формулы логики предикатов

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

ПРОГРАММА КУРСА МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ТЕРИЯ АЛГОРИТМОВ
Тема 1. «Совершенные дизъюнктивные нормальные формы (СДНФ) и совершенные конъюнктивные нормальные формы (СКНФ) в алгебре высказываний (АВ)». Формулы АВ. Эквивалентность формул АВ.

Формулы алгебры высказываний
Высказыванием называется повествовательное предложение, о котором в данной ситуации можно сказать, что оно истинно или ложно, но не то и другое одновременно. В качестве примеров выс

Эквивалентные формулы алгебры высказываний
Как показано в примере 1, различные формулы могут иметь одинаковые таблицы истинности. Так возникает понятие эквивалентности формул. Формулы φ и ψ АВ называются

Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы в алгебре высказываний
Если х — логическая переменная, δ {0,1}, то выражение называется литерой. Литеры х и ¬х называются контрарными. Э

Определение формального исчисления
Введем общее понятие формального исчисления. Будем говорить, что формальное исчисление I определено, если выполняются четыре условия. 1. Имеется некоторое множество

Система аксиом и правил вывода
Используя понятие формального исчисления, определим исчисление высказываний (ИВ). Алфавит ИВ состоит из букв x,y,z,u,v, возможно с индексами (которые называются про

Теорема о дедукции в исчислении высказываний
Теорема 1(о дедукции). Пусть φ1,…,φm,φ,ψ – формулы ИВ. Тогда φ1,…,φm,φ⊢

Теорема о замене в исчисления высказываний
Формулы φ и ψ назовем эквивалентными (обозначим φ≡ψ), если φ⊢ψ и ψ⊢φ.

Свойства выводимых и эквивалентных формул исчисления высказываний
Утверждение 3.Пусть φ,ψ, χ – формулы ИВ. Тогда 1) ⊢φ→φ; 2) φ∧ψ⊢φ;

Высказываний
Теорема 3.Пусть φ, ψ, χ ‑ формулы ИВ. Тогда имеют место следующие эквивалентности: 1) φ∧ φ≡φ, φ∨

Высказываний
Формула φ(x1,…,xn) ИВ называется тождественно истинной (обозначается ⊨φ), если φ(x1,…,xn) – тож

Алгебраические системы
Часто объектом изучения в математике служит множество вместе с определенной на нем структурой. Например, поля, формирующие основу обычной арифметики, линейные пространства, обеспечивающие связь гео

В алгебраической системе
Дадим индуктивное определение истинности формулы φ(x1,…,xn) сигнатуры Σ на элементах a1,…,an А в алгебраической с

Логическое следствие в логике предикатов
Через обозначим кортеж переменных ; через ‑ . Пусть φ1(),…,φn(), ψ() – формулы сигнатуры . Формула ψ называетс

Эквивалентные формулы логики предикатов
Формулы φ и ψ сигнатуры называются эквивалентными (обозначается φ ≡ ψ), если φψ или ψ . Утвержден

Пренексная нормальная форма в логике предикатов
Формула φ сигнатуры Σ называется бескванторной, если она не содержит кванторов. Бескванторная формула φ является дизъюнктивной (конъюнктивной) нормальной форм

Система аксиом и правил вывода
Зафиксируем некоторую произвольную сигнатуру Σ и определим исчисление предикатов сигнатуры Σ (ИПΣ). Формулами ИПΣ

Предикатов
Утверждение 2.В ИПΣ выполнимы все эквивалентности ИВ из теоремы 3. Утверждение 3. Пусть φ

Исчисления предикатов
Теорема 4. Все доказуемые в ИПΣ формулы являются тождественно истинными. Доказательство проводим индукцией по длине вывода формулы. Очевид

Машины Тьюринга
Машина Тьюринга – это система, работающая в дискретные моменты времени и состоящая из следующих частей: конечная лента, разбитая на конечное число ячеек. В ка

Примитивно рекурсивные функции
Базисными функциями называются следующие функции: – нулевая функция; – функция следования; – функция выбора. Оператор суперпозиции (подстановки) ставит в соот

Частично рекурсивные функции
Оператор минимизации ставит в соответствие n+1-местной частичной функции n-местную частичную функцию так, что и или определены и не равны 0,

Совершенные дизъюнктивные нормальные формы, совершенные конъюнктивные нормальные формы
Построить таблицы истинности для следующих формул алгебры высказываний и привести эти формулы к СДНФ и СКНФ. 1. (x∧¬y)→(y∧z);

Логическое следствие в алгебре высказываний
Проверить истинность соотношений тремя способами (используя определение логического следствия и пп. 3,4 теоремы 2. 1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6.

Исчисление высказываний
Пусть - формулы исчисления высказываний. Построить вывод формулы исчисления высказываний из данного множества гипотез. 1. ; 2. ; 3. ; 4. ;

Алгебраические системы.
Построить подсистему алгебраической системы , порожденную множеством (через обозначен булеан множества B, т.е. множество всех подмножеств множества B): 1. 2.

Формулы логики предикатов
Выписать все подформулы данной формулы сигнатуры и определить свободные и связанные переменные формулы: 1. 2. 3. 4. 5.

В алгебраической системе
Написать формулу Ф(х), истинную в алгебраической системе тогда и только тогда, когда 1. х=1; 2. х=2n для некоторого натурального

Логическое следствие в логике предикатов
Пусть – формулы логики предикатов, и . . Доказать следующие соотношения. 1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ;