Историческая справка

Историческая справка. В жизни постоянно приходится сталкиваться с необходимостью принять наилучшее возможное (иногда говорят - оптимальное) решение.

Огромное число подобных проблем возникает в экономике и технике. При этом часто случается так, что полезно прибегнуть к математике. В математике исследование задач на максимум и минимум началось очень давно – двадцать пять веков назад, Долгое время к задачам на отыскание экстремумов не было сколько – нибудь единых подходов. Но примерно триста лет назад – в эпоху формирования математического анализа – были созданы первые общие методы решения и исследования задач на экстремум.

Накопление методов дифференциального исчисления приняло наиболее явную форму у Ферма. В 1638 году он сообщил в письме Декарту, что решил задачу определения экстремальных значений функции f(x). Ферма составлял уравнение (f(x+h)-f(x))/h=0 и после преобразований в левой части полагал h=0, вопреки мнению позднейших исследователей, которые видели в этой идеи исчисления бесконечно малых.

В действительности, Ферма нашел это условие и аналогичное (f(y)-f(x))/(y-x)=0 при y=x ещё алгебраическими путями. Рассуждения при нахождении экстремума функции f(x) следующие. Пусть для некоторого x функция достигает максимума. Тогда f(x h)<f(x);f(x) Ph Qh 2 …<f(x) . Вычитаем из обеих частей и делим на h, откуда P Qh …<0.Так как h можно выбрать любой малости, член P будет по модулю больше суммы всех остальных членов. Неравенство поэтому возможно лишь при условии P=0, что и дает условие Ферма. В случае минимума рассуждения аналогичные.

Ферма знал также, что знак Q определяет характер экстремума. К сожалению, Ферма не стремился публиковать свои работы, кроме того, пользовался труднодоступными для усвоения алгебраическими средствами Виета с его громоздкой символикой. Видимо, поэтому он не сделал последнего, уже небольшого, шага на пути к созданию дифференциального исчисления. Накопление фактов дифференциального исчисления происходило быстро.

В “Дифференциальном исчислении” (1755) Эйлера это исчисление появляется уже в весьма полном виде. Правила определения экстремумов функции одной переменной y=f(x) были даны Маклореном. Эйлер разработал этот вопрос для функции двух переменных. Лагранж показал (1789), как отличать вид условного экстремума для функции многих переменных. В XVIII веке возникло исчисление вариаций. В трудах Эйлера и Лагранжа оно приобрело вид логически стройной математической теории. Главной задачей, решаемой средствами этого исчисления, являются отыскание экстремумов функционалов. 3.