Экстремумы функций одной переменной

Экстремумы функций одной переменной. Необходимое условие. Пусть функция f(x), определенная и непрерывная в промежутке [a, b], не является в нем монотонной.

Найдутся такие части [ , ] промежутка [a, b], в которых наибольшее и наименьшее значение достигается функцией во внутренней точке, т.е. между и. Говорят, что функция f(x) имеет в точке максимум (или минимум), если эту точку можно окружить такой окрестностью (x 0 - ,x 0 + ), содержащейся в промежутке, где задана функция, что для всех её точек выполняется неравенство. f(x) < f(x 0 )(или f(x)>f(x 0 )) Иными словами, точка x 0 доставляет функции f(x) максимум (минимум), если значение f(x 0 ) оказывается наибольшим (наименьшим) из значений, принимаемых функцией в некоторой (хотя бы малой) окрестности этой точки.

Отметим, что самое определение максимума (минимума) предполагает, что функция задана по обе стороны от точки x 0 . Если существует такая окрестность, в пределах которой (при x=x 0 ) выполняется строгое неравенство f(x)<f(x 0 )(или f(x)>f(x 0 ) то говорят, что функция имеет в точке x 0 собственный максимум (минимум), в противном случае – несобственный.

Если функция имеет максимумы в точках x 0 и x 1 , то, применяя к промежутку [x 0 ,x 1 ] вторую теорему Вейерштрасса, видим, что наименьшего своего значения в этом промежутке функция достигает в некоторой точке x 2 между x 0 и x 1 и имеет там минимум.

Аналогично, между двумя минимумами непременно найдется максимум. В том простейшем (и на практике – важнейшим) случае, когда функция имеет вообще лишь конечное число максимумов и минимумов, они просто чередуются. Заметим, что для обозначения максимума или минимума существует и объединяющий их термин – экстремум. Понятия максимум (max f(x)) и минимум (min f(x)) являются локальными свойствами функции и имеют место в определенной точке х 0 . Понятия наибольшего (sup f(x)) и наименьшего (inf f(x)) значений относятся к конечному отрезку [a, b] и являются глобальными свойствами функции на отрезке.

Из рисунка 1 видно, что в точках х 1 и х 3 локальные максимумы, а в точках х 2 и х 4 – локальные минимумы. Однако, наименьшего значения функция достигает в точке х=а, а наибольшего – в точке х=b. Поставим задачу о разыскании всех значений аргумента, доставляющих функции экстремум. При решении ее основную роль будет играть производная. Предположим сначала, что для фунции f(x) в промежутке(a, b) существует конечная производная.

Если в точке х 0 функция имеет экстремум, то, применяя к промежутку (х 0 - ,х 0 + ), о которой была речь выше, теорему Ферма, заключаем, что f (x)=0 этом состоит необходимое условие экстремума. Экстремум следует искать только в тех точках, где производная равна нулю. Не следует, думать, однако, что каждая точка, в которой производная равна нулю, доставляет функции экстремум : указанное только что необходимое условие неявляется достаточным. 3.2.1.Достаточное услоие. Первый признак.

Дополним, что точки, где производная равна нулю, называются стационарными ; а точки, где производная не существует называются критическими. Итак, если точка х 0 есть стационарная точка для функции f(x) или если в этой точке не существует для неё двусторонней конечной производной, то точка х 0 представляется, так сказать лишь “подозрительной” по экстремуму и подлежит дальнейшему испытанию. Это испытание состоит а проверке достаточных условий для существования экстремума, которые мы сейчас утановим.

Предположим, что в некоторой окрестности (х- ,х+ ) точки х 0 (по крайней мере, для х=х 0 ) существует конечная производная и как слева от х 0 , так и справа от х 0 (в отдельности) сохраняет определенный знак. Тогда возможны следующие три случая: I f’(x)>0 при х<х 0 и f’(x)<0 при х>х 0 , т. е. производная f’(x) при переходе через точку х 0 меняет знак плюс на минус. В этом случае, в промежутке [х 0 - ,х 0 ] функция f(x) возрастает, a в промежутке [х 0 ,х 0 + ] убывает, так что значение f(x) будет наибольшим в промежутке [х 0 - ,х 0 + ] , т. е. в точке х 0 функция имеет собственный максимум.

II f’(x)<0 при х<х 0 и f’(x)>0 при х>х 0 , т. е. производная f’(x) при переходе через точку х 0 меняет знак минус на плюс. В этом случае аналогично убеждаемся, что в точке х 0 функция имеет собственный минимум. III f’(x)>0 как при х<х 0 так и при х>х 0 либо же f’(x) и слева и справа от х 0 , т. е. при переходе через х 0 , не меняет знака.

Тогда функция либо всё время возрастает, либо всё время убывает; в любой юлизости от х 0 с одной стороны найдутся точки х, в которых f(x)<f(x 0 ), а с другой – точки х, в которых f(x)>f(x 0 ) так что в точке х 0 никакого экстремума нет. Итак, мы получаем правило для испытания “подозрительного” значения х 0 : подставляя в производную f’(x) сначала х<х 0 , а затем х>х 0 , устанавливаем знак производной вблизи от точки х 0 слева и справа от неё; если при этом производная f’(x) меняет знак плюс на минус, то налицо максимум, если меняет знак с минуса на плюс, то – минимум ; если же знака не меняет, то экстремума вовсе нет. Это правило полностью решает вопрос в том случае, когда в промежутке (а, b), как это обычно бывает, всего лишь конечное число стационарных точек или точек, где отсутствует конечная производная: a<х 1 <х 2 <… <х k <х k+1 <… <х n <b (3.1) именно, тогда прежде всего, в любом промежутке (а, х 1 ), (х 1 ,х 2 ), … ,(х k, х k+1 ), … ,(х n, b) существует конечная производная f’(x) и, кроме того, в каждом таком промежутке f’(x) сохраняет постоянный знак. Действинельно, если бы f’(x) меняла знак, например, в промежутке (х k, х k+1 ) , то по теореме Дарбу, она обращалась бы в нуль в некоторой точке между х k и х k+1 , что невозможно, поскольку все корни производной уже содержатся в ряду точек (3.1). Последнее замечание бывает полезно в некоторах случаях на практике: знак производной f’(x) во всем промежутке (х k, х k+1 ) определяется, если вычислить значение (или даже только установить знак) её в одной какой-либо точке этого промежутка. 3.2.2.Достаточное условие.

Второй признак.

Нередко более удобным на практике оказывается другой признак существования экстремума, основанный на выяснении знака второй производной в стационарной точке.

Справедлива следующая теорема. Теорема 3.1:Если х 0 есть стационарная точка функции f(x) и f’’(x)<0, то в точке х 0 функция иммет максимум, а если f’’(x)>0 , то функция имеет в точке х 0 минимум.

Доказательство: По определению второй производной (f’(x)-f’(x 0 ) f’’(x 0 )=lim x-x 0 По условию теоремы f’(x)=0. Поэтому f’(x) f’’=lim x-x 0 Допустим, что f’’(x)<0. Тогда по теореме о пределах функции найдётся такой интервал (x 0 x 0 +), в котором переменная величина f’(x)/(x-x 0 ) сохраняет знак своего предела, т. е. выполняется неравенство f’(x) <0 (x 0 - <x<x 0 + ) x-x 0 Отсюда следует, что f’(x)>0 , если х-х 0 <0, или х>х 0 , и f’(x)<0, если х-х 0 >0, или х>х 0 . На оснавании первого достаточного признака существования экстремума заключаем, что в точке х 0 функция f(x) имеет максимум.

Аналогично показывается, что условие f’’(x)>0 обеспечивает минимум функции f(x). ч.т.д. Таким образом получаем правило нахождения экстремумов (для дважды дифференцируемых функций): 1.Вычисляем первую производную f’(x) и из уравнения f’(x)=0 находим стационарные точки функции f(x). 2.Вычсляем вторую производную, и каждую стационарную точку х 0 подвергаем испытанию: • если f’’(x)>0, то х 0 – точка минимума функции; • если f’’(x)<0, то х 0 – точка максимума функции.

Замечание 1 : если f’’(x)=0 ,то это правило теряет силу и нужно воспользоваться первым признаком нахождения экстремумов. При этом экстремум может существовать, а может и не существовать. Однако в случае своей применимости второй признак окаывается весьма удобным : вместо рассмотрения знака функции f’(x) в точках, отличных от предполагаемой точки экстремума, он позволяет дать ответ по знаку функции f’’(x) в той же точке. 3.3.