Лекция 8. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Прямая и плоскость в пространстве
План:
1. Взаимное расположение прямых на плоскости;
2. Уравнение плоскости в пространстве;
3. Прямая в пространстве;
4. Примеры решения задач.
Точка пересечения прямых.
Пусть прямые заданы общими уравнениями: и .
Так как координаты точки пересечения должны удовлетворять каждому из уравнений, то их можно найти из системы:
Примеры решения задач
Пример 1. Составить уравнение прямой, проходящей через точку :
а) параллельно прямой : ;
б) перпендикулярно прямой : .
Решение.
а) Так как искомая прямая параллельна прямой : , то . Найдем исходной прямой . Откуда получим, что .
Итак, искомую прямую задаем по точке и угловому коэффициенту :
б) Так как искомая прямая перпендикулярна прямой : , то . Из уравнения исходной прямой получаем . Тогда .
Уравнение искомой прямой:
Ответ: а) ; б) .
Пример 2. Составить уравнение плоскости , проходящей через точку и :
а) параллельной плоскости : ;
б) точку , параллельной оси ;
в) проходящей через ось .
Решение.
а) Так как искомая плоскость параллельна плоскости , то нормальный вектор последней плоскости будет нормальным вектором и для искомой плоскости. Значит, и для задания уравнения используем формулу (8.3):
б) Так как плоскость параллельна , то в общем уравнении (8.4) коэффициент , и уравнение имеет вид . Так как точки и лежат на плоскости, то их координаты должны удовлетворять уравнению плоскости:
Следовательно, уравнение плоскости имеет вид:
в) Так как плоскость проходит через ось , то , т.е. уравнение плоскости имеет вид . Так как плоскость содержит точку , то . Уравнение плоскости запишется:
Ответ: а) ; б) ; в) .