Уравнение плоскости в пространстве

Лекция 8. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Прямая и плоскость в пространстве

 

План:

1. Взаимное расположение прямых на плоскости;

2. Уравнение плоскости в пространстве;

3. Прямая в пространстве;

4. Примеры решения задач.

 

Взаимное расположение прямых на плоскости

  Рис. 8.1. Угол между двумя прямыми

Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

(1); (2). Прямые (1) и (2) параллельны тогда и только тогда, когда .

Точка пересечения прямых.

Пусть прямые заданы общими уравнениями: и .

Так как координаты точки пересечения должны удовлетворять каждому из уравнений, то их можно найти из системы:

Расстояние от точки до прямой.

Рис. 8.2. Расстояние от точки до прямой  

Уравнение плоскости в пространстве

   

Прямая в пространстве

б) Если прямая параллельна вектору (направляющий вектор) и проходит через… . (8.7)

Примеры решения задач

Пример 1. Составить уравнение прямой, проходящей через точку :

а) параллельно прямой : ;

б) перпендикулярно прямой : .

Решение.

а) Так как искомая прямая параллельна прямой : , то . Найдем исходной прямой . Откуда получим, что .

Итак, искомую прямую задаем по точке и угловому коэффициенту :

б) Так как искомая прямая перпендикулярна прямой : , то . Из уравнения исходной прямой получаем . Тогда .

Уравнение искомой прямой:

Ответ: а) ; б) .

 

Пример 2. Составить уравнение плоскости , проходящей через точку и :

а) параллельной плоскости : ;

б) точку , параллельной оси ;

в) проходящей через ось .

Решение.

а) Так как искомая плоскость параллельна плоскости , то нормальный вектор последней плоскости будет нормальным вектором и для искомой плоскости. Значит, и для задания уравнения используем формулу (8.3):

б) Так как плоскость параллельна , то в общем уравнении (8.4) коэффициент , и уравнение имеет вид . Так как точки и лежат на плоскости, то их координаты должны удовлетворять уравнению плоскости:

Следовательно, уравнение плоскости имеет вид:

в) Так как плоскость проходит через ось , то , т.е. уравнение плоскости имеет вид . Так как плоскость содержит точку , то . Уравнение плоскости запишется:

Ответ: а) ; б) ; в) .